第２７卷第４期２００９年８月江西

ＪＩＡＮＧＸＩ科学

ＳＣＩＥＮＣＥＶ０１．２７Ｎｏ．４

Ａｕｇ．２００９

文章编号：１００１—３６７９（２００９）０４—０５０４—０２等价替换的推广及在重要极限中的应用李远梅１，田明２（１．暨南大学经济学院，广东广州５１０６３２；２．合肥市地震局，安徽合肥２３０６０１）摘要：将无穷小量的等价推广到所有量的等侪，在，（善）与Ｆ（聋）等价，且，（牟）与Ｐ（茗）等价的条件下，等价替换满足幂指数及对数函数的运算，为ｌ。型带来更为简便的方法。关键词：等价；等价替换；ｌ‘型；极限中图分类号：０１７ｌ文献标识码：Ａ

ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎａｎｄＳｐｒｅａｄｏｆＥｑｕｉＶａｌｅｎｔＲｅｐｌａｃｅｍ锄ｔｉｎａｎＩＩｌｌｐｏｒｔａｎｔ

Ｌｉｍｉｔ

ＬＩＹｕ锄一Ｍｅｉｌ，ｎＡＮＭｉｎ９２

（１．Ｃｏｕｅｇｅ０ｆＥｃ帅伽ｉｃ８，Ｊｉ’啪ＵＩＩｉｖｅ璐ｉｔｙ，Ｇｕ明ｇｄ∞ｇＧｕ觚ｇｚｈｏｕ５１０６３２ＰＲＣ；

２．ＥａｎｈｑｕａｋｅＢｕｒ；ｅ肌ｉｎＨｅｆｅｉ，ＡａｌｌｌｌｉＨｅｈｕｉ２３０６０ｌＰＲＣ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｎｉｓｐａｐｅｒｓｐｒｅａｄｓｔｌｌｅｉＩｌｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｅｑｕｉＶａｌｅｎｔｔｏｔ１１ｅａＵｅｑｕｉＶａｌｅｎｔ，ｉｎ以茗）锄ｄ

Ｆ（茗）ｅ—

ｑｕｉｖ８ｌｅｎｔ，肋ｄｕｎｄｅｒｔｌｌｅｃｏｎｄｉ￡ｉｏｎｏｆ厂（石）锄ｄ，’（名）ｅｑｕｉｖａｌｅｎ￡，￡ｌｌｅｅｑｕａｌ∞印ｌａｃｅｓａ“ｓ６ｅｓｔｈｅｅｘ—

ｐ（ｍｅｎｔｓｉｇｎａｎｄｔｌｌｅｌｏ鲥山ｍｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ叩ｅｒａｔｉｏｎ．，ａｎｄｂｒｏｕｇｈｔａｓｉｍｐｌｅｒｍｅｔｈｏｄｆ打ｔｈｅ１。ｌｉｍｉｔ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ，Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ，ｌ∞ｔｙｐｅ，Ｕｍｉｔ

１理论研究定义ｌ：若墅《洽＝１，则称厂（戈）与ｇ（茹）等价，记为火石）铫（茗），（茗川）。如：ｌｉ碑号堡＝ｌ，则ｃｏｓ２石§ｌ。

＃—加

定理１：若八茹）§，（菇），ｇ（茹）．甘Ｇ（石）墅哆等

≠一鲁，Ａ、Ｂ均不为零，则ＡＦ（石）＋ＢＧ（省）｛专４，．（茹）＋Ｂ宫（髫）。证明：坚霉筑㈣＝墅丽苏紫‰乩故

ＡＦ（茗）＋ＢＧ（ｚ）刚“茗）＋８９（茗）。

定理２：若以菇）铮Ｆ（石）以省）＞Ｏ以茹），Ｆ（菇）可导且厂（省）铮Ｆ’（戈），则１１１八名）ｄｎ，（菇）。证明：（１）当ｌｉ酿菇）＝』４，Ａ为非Ｏ和ｌ的实

数显然成立，因为对数函数在其定义域上连续。（２）当ｌｉⅡ矿（石）＝Ａ，Ａ为０，ｌ或∞时，则ｌｉｍ踹＝勘搿络乩

故ｌｎ八菇）甘ＩＩｌ，（茗）。定理３：若八菇）铮Ｆ（并），ｇ（菇）铮Ｇ（茗）以菇）＞Ｏｌｉ坝茗）“”存在以茗）、Ｆ（髫）可导，且厂（石）§Ｆ’

（菇），贝ｑｌｉ啦厂（戈）５‘５’＝ｌｉｍ，（省）ｃ‘“。证明：（１）由定理２可知ｌＩｌ八戈）铮ｌＩｌ，（聋），ｌｉｒｆ以茗）５‘。’＝ｌｉｍｅ。‘。’１ｎ以“，ｌｉＩＩ矿．（菇）５‘。’存在，贝０ｌｉｍｇ（石）ｈｌ以聋）存在。

收稿日期：２００９一０５—２５；修订日期：２００９—０６—２９作者简介：李远梅（１９８２一），女，四川资阳人，在读硕士研究生，研究方向：数理金融与精算。

万方数据第４期李远梅等：等价替换的推广及在重要极限中的应用·５０５·故ｌｉｒ矾石）５‘３’＝ｌｉｍｅ５‘。’ｈ且５’＝ｌｉｍｅｃ（，）错鼢和ｎ，（，）：ｌｉｍｅ烈＊）ｈ，（，）：ｌｉｍ，（菇）。（一。；’注意：极限值相等是等价的必要条件。结论：选定合适的等价量是求极限的关键，由定理可知，在适当条件下等价替换满足四则运算、对数运算、幂指数函数运算。２应用㈨］

例ｌ：ｌｉＩ罂（ｓｉｎ缸＋ｃｏｓ２茗）安。因为ｓｉｎ６石＋ｃ∞２菇铮ｌ＋６髫，且（ｓｉｎ６茹＋ｃ∞

２石）’々辐，由定理３＝ｌｉｌ婴（６省＋１）击＝，。例２：ｌｉ。婴（１＋３菇ｔ锄茗）越４一％。因为ｌ＋３茹ｔａｌｌ茗§ｌ＋３膏２，ｓｉｎ～茹§菇一２且（１＋３菇ｔａＩｌ石）’铮（１＋３石２）’，故＝ｌｉ罂（１＋３戈２）’～＝，。例３：ｌｉｌ粤（ｃｏｓ茗＋菇ｓｉｎ２茗）５—２。ｃ∞茗＋茹ｓｉｎ戈§ｌ＋茗２甘ｌ＋融２，但只有（ｃ∞茗＋茗ｓｉｎ茗）’々亭（１＋Ｏ．５髫２）’，故ｌｉ璎（ｃｏｓ茗＋茗ｓｉｎ髫）主：ｌｉＩ跫（１＋０．５茗２）当：ｅ÷。例４：ｌｉｍ（ｃｏｓ石）血。哮。ｓｉｎ。２扣砉，ｃ∞ｚ铮ｌ铮ｌ＋∥，ｃ∈尺。只有（ｃ∞茗）’营（１—０．５名２）’，故ｌｉｍ（ｃ∞菇）血‘哮＝ｌｉ碑｝枷，加（１—０．５名２）主＝ｅ一２。例５：ｌｉｍ（三８ｒｃｔ册髫）。ｏａｒｃｔａＩｌ聋铮手＋Ａ÷（Ａ为实数），（ａｒｃｔａｎ膏）’§（詈二÷）７，故ｌｉｍ（三ａｒｃｔ肌耳）。：ｌｉｍ（三（手一Ｚ茗Ｈ∞仃Ｈ∞仃二上）），：ｌｉｍ（１一三上），：ｅ一。茗仃茗例６：ｌｉｍ（业）忐。警－一吉菇２，ｆ之忑铮多，故＝姆（－一扣）刍＝ｅ一。３问题的探讨和研究

通过举例可以发现对于一个极限值确定的函数人菇），在５类初等函数中的任意一类只有唯一的一个函数ｇ（菇）满足：八菇）铭（石）√≮菇）’铹（茗）’

女Ⅱ石—加，省｛亨ｋｍ茗｛亨ｓｉｎ石々寺ｌｎ（１＋茹）｛ｊ时。一ｌ，这样为解题找等价量就提供了方便。

参考文献：［１］华东师大数学系编．数学分析（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］同济大学．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［３］张梓怡．重要极限ｌｉｍ（１＋上）－的推广及应用［Ｊ］．

辽宁省交通高等专科学校学报，２００７（３）：９４—９５．［４］汪荷仙．高等数学解题方法指导［Ｍ］．成都：成都科技大学出版社，１９９２．

万方数据等价替换的推广及在重要极限中的应用作者：李远梅， 田明， LI Yuan-Mei， TIAN Ming作者单位：李远梅,LI Yuan-Mei(暨南大学经济学院,广东广州,510632)， 田明,TIAN Ming(合肥市地震局,安徽合肥,230601)刊名：江西科学

英文刊名：JIANGXI SCIENCE年，卷(期)：2009，27(4)被引用次数：0次

1.华东师大数学系 数学分析 20012.同济大学 高等数学 20013.张梓怡 重要极限limx→∞(1+1x)x的推广及应用 2007(03)4.汪荷仙 高等数学解题方法指导 1992

1.期刊论文 吴汉华.WU Han-hua 关于无穷小的等价替换及其推广 -闽西职业大学学报2005,7(2) 理解无穷小的有关概念,会用无穷小的等价替换求极限,这是的教学要求,学生能更好地运用等价替换原理,并把原理推广到无穷小的和与差的等价替换,再由等价无穷小的概念推导出一类工程上常用的近似计算公式.

2.期刊论文 周宏辉 无穷小(大)量等价替换方法的推广 -现代企业文化2010,""(3) 文章通过举例验证,得出了结论:就多种类型的未定型,求极限时,都可用无穷小(大)的等价替换,所求的极限值不变.

3.期刊论文 陈东海 无穷小的等价替换应用及推广 -科协论坛（下半月）2007,""(3) 本文主要研究了无穷小的等价替换在简化不定式极限的运算过程中的运用,讨论了用洛必达法则和泰勒公式求不定式极限,以及它们所适用的函数类.这三种方法是求解不定式极限的主要方法.最后,本文利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程.

4.期刊论文 朱立柱 等价线性无关组的一个性质 -科技资讯2009,""(23) 线性无关向量组以及向量组等价的概念在线性代数中占有重要的地位,对研究矩阵的初等变换和线性方程组的解有重要作用.本文讨论了两个等价的线性无关向量组,其中一诅的一个向量能否用另一组的一个向量代替后仍与另一组等价.

5.期刊论文 周宏辉 等价无穷小替换应用的总结 -现代企业文化2009,""(15) 文章就多种类型的未定型极限,求极限时可用无穷小等价替换,所求的极限值不变,回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限.

6.期刊论文 杨东亚.龚俊.Yang Dongya.Gong Jun 三维机械装配误差的建模方法 -起重运输机械2010,""(3) 提出了一种基于等价替换思想的三维装配误差的建模方法,该方法从分析三维装配中各种误差因素对装配性能的影响机理入手,首先基于等价替换思想对各种误差因素所产生的影响逐类逐个予以建模,然后将等价模型在三维装配的尺寸链中集成,最终得到全面考虑各种误差因素影响的三维装配等价模型.

7.期刊论文 谢小正.杨东亚.强建国.陈惠贤.XIE Xiao-zheng.YANG Dong-ya.QIANG Jian-guo.CHEN Hui-xian 基于运动连接的机构尺寸误差分析 -兰州理工大学学报2007,33(3) 介绍机构运动分析与误差分析的向量环路线性规划法,分析运用运动分析灵敏度进行误差分析的可能性,提出在机构误差分析模型中用基本运动连接元素(运动副)对尺寸误差进行等价替换,使误差分析向量环路线性规划法在ADAMS中实现.分析仿真过程中在误差等价替换运动连接中引入虚拟速度并逐一进行单步仿真,从而提取误差灵敏度.结果表明,误差分析的等价运动连接替换法实现了计算机辅助分析,解决了向量环路分析计算量繁琐的弊端,使机构误差分析简易可靠.

8.期刊论文 袁德有.杜书德.YUAN De-you.DU Shu-de 函数和的等价性的几个定理 -安阳师范学院学报2007,""(2) 两对等价函数的积商(分母不为零)仍是等价的,但它们的和不一定等价.本文给出了函数和的等价性的几个充分条件,扩大了利用等价替换求极限的范围.

9.期刊论文 梁海滨 等价无穷小替换的推广及其理论依据分析 -总裁2009,""(8) 等价无穷小替换在求不定式极限过程中起着很重要的作用.但多数教材中对其使用的条件要求都很苛刻,即无穷小的等价代换只能对分子、分母的无穷小因子进行, 在实际应用中存在一定的局限性.如何将把等价无穷小的替换原理推广到无穷小的和与差的等价替换、密指函数的等价替换呢?它成立的理论依据又是什么呢?

10.期刊论文 沈丹 关于积分上限函数在应用极限中的一种新思路 -理科爱好者（教育教学版）2010,""(1) 积分上限函数在遇到求极限的问题时,若它为一个无穷小量,我们试着找到一个与它等价的无穷小量做替换,那么计算起来就比较简便.

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_jxkx200904009.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：50bde9cb-1d9c-4b4d-95d8-9dca00f504ac下载时间：2010年8月6日