２００８，２８Ａ（４）：７４７—７５６　爨　

数学物理学报　

随机变量序列函数的几乎处处中心极限定理　陈守全　（西南大学数学与统计学院　重庆４００７１５）　林正炎　（浙江大学数学系　杭州３１００２８）　

摘要；该文证明了随机元序列的一个一般的几乎处处中心极限定理，并把这一结论应用于随机　变量序列的函数．　关键词：几乎处处中心极限定理；随机函数；平稳强混合序列；　Ｕ统计量．　Ｍａ（２０００）主题分类：６０Ｆ０５；６０Ｆ１５　中图分类号：０２１　１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—３９９８（２００８）０４—７４７－１０　

１　引言　在过去十多年里，几乎处处中　５－极限定理引起了广泛关注．　Ｂｒｏｓａｍｌｅｒ（１９８８），Ｓｃｈａｔｔｅ　（１９８８），Ｌａｃｅｙ和Ｐｈｉｌｉｐｐ（１９９０）等人证明了ｉ．ｉ．ｄ．随机变量序列情形的有关结论．　Ｂｅｒｋｅｓ与　Ｄｅｈｌｉｎｇ（１９９３），Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓ￣ｋｉ（２００１）得到了独立不同分布随机变量序列的几乎处处中心极　限定理．但对弱相依随机变量序列，结果却不多．Ｐｅｌｉｇｒａｄ和Ｓｈａｏ（１９９５）证明了平稳强混　合随机变量序列的几乎处处中心极限定理．　本文将证明一个关于随机元序列的几乎处处中心极限定理的一般结果．相应地，我们将　证明对某些混合序列也成立几乎处处中心极限定理．　几乎处处极限定理表明：设｛　，佗　１｝是一定义在概率空间（　，　，Ｐ）上的随机变量　序列．记Ｓｎ＝∑Ｘ　．则在适当的条件下，存在一Ｐ＿零集Ｎ∈Ｑ，使得对任意　∈Ｎ。，对　ｉ＝１　某些常数序列｛０　，｛６　｝和分布函数Ｇ及满足Ａ（ＯＡ）＝０的所有博雷尔集Ａ　Ｃ　Ｒ，成立　

１三１　，　赤∑云　。　（Ｓｋ－ｂｋ）ＥＡ）　ｄｅ（ｘ），　（１．　）　一　ｋ＝ｌ　…　其中　是示性函数，　表示Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度．　

２　主要结果　设（　，ｄ）为一完备可分距离空间，｛　，佗　１）是Ｂ上的随机元序列．用　ｙ表示ｙ的　分布，ＢＬ（Ｂ）是由满足　１ＢＬ＝　ｌｏ。＋ｌＩｇｌｌＬ＜ｏ。的有界李普希兹连续函数ｇ：Ｂ—Ｒ构　成的空间，其中　ｌ。。是上确界范数，　ｌＬ　·令１。ｇ＋ｘ＝ｌｏｇ（　Ｖ　１）·　

收稿日期：２００６—０３—２６；修订日期：２００８—０１—０８　Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｑｃｈｅｎＱｓｗｕ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｚｌｉｎ＠ｚｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　基金项目：西南大学博士基金（ＳＷＵＢ２００６０５４）和国家自然科学基金（１０５７１１５９）资助　７４８　数学物理学报　Ｖｌ０１．２８Ａ　定理２．１设｛ｙｎ，礼　１）是Ｂ上的随机元序列．假定存在一满足ｌｉｍ　Ｃ　＝。。，ａｎ＋１／ｃ　＝　ｎ—＋∞　ｏ（１）的非降正数序列｛ｃ　）和Ｂ一值随机元序列　，ｌ，ｋ，ｆ∈Ｎ，　＜ｆ，使得对任意函数　

ｇ∈ＢＬ（Ｂ）和ｋ＜ｆ，有　

ｍａｘ｛Ｅ（ｍｉｎ（ｄ（ＹｋＩ｛ｊ　），１）），Ｃｏｙ（Ｉ９（　），ｇ（ＹｋＩｆ）））　Ｃ（１。ｇ＋ｌ。ｇ＋（　））　。。　其中Ｃ＞０，Ｅ＞０为常数．设｛ｄｋ，　１）满足０　ｄｋ　ｌｏｇ（ｃｋ＋／ｃｋ）且∑ｄｋ＝。。，令　

＝１　Ｄ　＝∑ｄｋ．那么对Ｂ的　一代数　上的任意概率分布　，有　１　

当ｎ一∞时，　ｋ＝ｌ　ａ．ｓ　（２．２）　

当且仅当　当ｎ一∞时，　ｋ＝ｌ嘶　（２．３）　

这里　表示弱收敛．　如果我们取Ｂ＝Ｒ，且设｛Ｚｎ，ｎ　１）是一独立实值随机变量序列，　｛礼％）是一单调　增加的正整数序列．令　＝　（　１，…，ｘ　），　，ｆ＝ｆｋ，ｔ（Ｘｎ￣＋ｌ，…，Ｘｎ　）（１　＜１），其中　Ａ：　一冗，＾，１：７＝己　ｚ　一冗都是可测函数．则由定理２．１，我们得到Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓｇｔｋｉ　（２００１）的定理４．如果　与　，１是相互独立的随机元，　（２．１）式变得简单　

Ｅ（ｍｉｎ（ｄ（Ｙｋ，ｚ，　），１））　ｆ，ｌｏｇ＋ｌｏｇ＋（ｃ￣））一　＋　

定理２．１使得其可能的应用范围变得更广．　从Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓｇ＆ｉ（２００１）定理４的证明，我们可证下列引理．　引理２．１设｛　，ｎ　１）是一致有界随机变量序列．假定存在常数Ｃ＞０，Ｅ＞０，和一　满足ｌｉｍ　Ｃ　＝。ｏ，Ｃｎ＋１／ｃ　＝ｏ（１）的非降正数序列｛ｃ　），使得对ｋ＜？，有　

Ｅ（ｘｋ　）Ｉ　（１Ｏｇ＋ｌｏｇ＋（　））　Ｈ。　

令　‰　

其中ｄ　，Ｄ　如定理２．１所定义．那么　ｌｉｍ　＝０　ａ．Ｓ　下一引理是Ｄｕｄｌｅｙ（１９８９）的定理１１．３．３．　引理２．２设　，　，ｎ＝１，２，…，是Ｂ上的有限博雷尔测度序列．则　

当礼一∞时，　，　Ｎｏ．４　陈守全等：随机变量序列函数的几乎处处中心极限定理　７４９　当且仅当存在一可数集Ｍ　ｃ　Ｂ　（Ｂ）（依赖于　），使得对任意ｇ∈Ｍ　ｌｉｍ／ｇ（ｘ）ｄｐ　（　）＝／ｇ（ｘ）ｄｔｔ（ｘ）．　定理２．１的证明充分性　定义Ｘｋ＝９（　）一Ｅｇ（Ｙｋ），ｋ　１．设Ｋ　１是一满足　９（　）　Ｋ，Ｉｇ（ｘ）一ｇ（ｙ）ｌ　Ｋｄ（ｘ，　），　，Ｙ∈Ｂ的常数．因此应用（２．１）式，我们有，对ｋ＜ｌ　

ｆＥ（Ｘ％　ｆ）ｌ＝ｌＥ（９（　）一Ｅｇ（Ｙｋ））（ｇ（Ｙｚ）一Ｅｇ（Ｙ１））ｌ　１Ｅ（ｇ（Ｙｋ）一Ｅｇ（Ｙｋ））（ｇ（Ｙｚ）一９（Ｙｋ，２））１＋１Ｅ（ｇ（Ｙｋ）一Ｅｇ（Ｙｋ））（ｇ（Ｙｋ，ｆ）一Ｅ９（　））ｌ　

２ＫＥ］（ｇ（Ｙｚ）一ｇ（Ｙｋ，ｃ））ｌ＋ｌＣｏｖ（ｇ（Ｙｋ），９（　，ｚ））ｌ　２ＫＥ（ｍｉｎ（Ｋｄ（Ｙ￣，ｌ，　），２Ｋ））＋ｌＣｏｖ（ｇ（Ｙ￣），９（　，ｚ））Ｉ　（４Ｋ２＋Ｉ）　（１ｏｇ＋ｌｏｇ＋（　））　Ｈ　．　

根据引理２．１，我们得到，当ｎ一∞时　ｄ（　ｋ＝ｌ　

）ｃ　一　ｄ（　ｎ　）ｃ　，　

Ｄｎ∑　（夕（　）一Ｅ９（　））　１ｋ＝ｌ　∑

ｋ＝ｌ　＿＿＋。ａ．ｓ．＇　

假设　固定，９∈Ｍ．因为当ｎ一∞时，　１　ｄｋｌｔＹ￣　，根据引理２．２，我们有，当　ｎ＿＿÷００时　）ｄ（　ｋ嘶　）（　）一　夕（　斛ｌ　因此我们得到，对所有ｇ∈Ｍ，当ｎ一∞时　

）ｄ（　ｋ　）（　）一／Ｂ　）　

ｌ　因为集Ｍ是可数的，根据引理２．２，我们得到（２．２）式．　必要性　设　＝　１　ｄｋ１．．ｔｙ￣：，　，　＝　１芝ｄｋ５ｙｋ（　）．设　为一　一连续集，即是说　＝１　＝１　（ａ　）＝０．因为　

／　，　（Ａ）ｄＰ（ｗ）＝　（　），　ｎ　

（２．２）式意味着　ｌｉｍ　（　）＝　（　）ａ．Ｓ．，　（２．４）　

关于（２．４）式取期望，并应用控制收敛定理，得到　ｌ　ｉｒａｏ。　

（Ａ）　（Ａ）·故（２·３）式成立·　Ｉ　

注记２．１根据定理２．１与Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓ￣ｋｉ（２００１，ｐ．１１７）定理４的证明可知，如果　

ｖａｒ（　ｎ咖（　））　ｃ（１ｏｇＤｎ　），　（２＿５）　７５０　数学物理学报　、，ｏ１．２８Ａ　代番（２．１）式．定理２．１　１Ｊ，然成立．　设｛Ｘｎ，ｎ　１）是一随机变量序列，满足：对每一ｎ≥１，有Ｅ　＜。。．记Ｓｎ：　Ｘ　，　

２＝Ｅ　Ｓｋｌ＝Ｓｚ—Ｓｋ（ｋ＜２）．定义一随机函数ｆｋ＝Ａ（ｘ　一，Ｘｋ）满足　

（　１，…，Ｘｋ）＝。　＋ｂｒｋ（Ｘ１，…，　），　（２．６）　其中ａ，ｂ∈Ｒ，ａ≠０，ｓｕｐ　ＥＩｒ　ｌ＜∞，ｒ　＝Ｄ（　）．　定理２．２设｛Ｘ　，ｎ　１｝是一数学期望为零的随机变量序列，　ｆｋ（Ｘ１，…，Ｘｋ）为一满　足（２．６）式的随机函数．假定对任意函数ｇ∈ＢＬ（Ｒ），有　

ｖａｒ（志　（凳））　ｌｏｇｌｏｇｎ　）·　（２．７）　

如果当佗一∞时，　Ｎ（Ｏ，１），那么　志　｛　）　＿ｓ＿·　（２．８）　

证我们取　＝　／　，　，ｌ＝（Ｓｌ一　）／　（　＜２），Ｃｋ＝　，ｄｋ＝１／　．根据注记２．１，有　面１　ｘ－￣　１　ｓ　）　西（－ｚ）ａ－ｓ·，　（２·９）　

根据Ｌａｃｅｙ和Ｐｈｉｌｉｐｐ（１９９０），（２．８）式等价于下列表述，对任意函数９∈ＢＬ（Ｒ）　ｌｉｒａ　夕（鱼ａａｋ）＝　㈤ａ．ｓ．，　（２＿１０）　

由（２．６）式，我们有　鱼：　＋　

因此　Ｉ９（　）　）Ｉ＜１１９１１Ｂ　１．　（２＿１１）　

在假定ｒ　＝Ｄ（盯　）下，我们得到　志　ＢＬ　·　

结合（２．９），（２．１０），（２．１１）与（２．１２）式，我们得到（２．８）式．　Ｉ　３应用　本小节主要把定理２．１，定理２．２应用到某些特殊随机变量序列．　定理３．１设｛墨　，ｎ　１）是一非平稳高斯随机变量序列，具有零均值和单位方差，且协　方差矩阵ｒｉｊ＝Ｃｏｖ（Ｘ￣，　）使得　＝ｓｕｐ｝ｒｉｊｆ＜１，ｒｉｊ￣ｏｇ（ｊ—ｉ）　Ｃ／（１ｏｇｌｏｇ（ｊ—　））一（１－Ｆｅ）．设　ｔ≠Ｊ　Ｎｏ．４　陈守全等：随机变量序列函数的几乎处处中心极限定理　７５１　｛ｕｎｉ｝是使得∑（１－　（　｛））有界的实数序列，对某一常数ｃ＞０，　＝ｍｉｎ．“　ｉ　ｃ（１ｏｇｎ）ｍ／　

１　』　０　如果　

ｎ　Ｐ（ｎ（五　札　））＝Ｇ（　），　

１　

证我们取　鉴｛　），　，ｆ　ｆ（ｘｄ，ｃ　，　＝１／　一为了证明定理，根据　注记２．１，只需证明下式就足够了．　

ｖａｒ（志　（　））　ｌｏｇ　ｌｏｇ　ｎ　）　

上述不等式的证明类似于Ｃｈｅｎ和Ｌｉｎ（２００６）的引理２．１和引理２．４．定理证毕．　Ｉ　注记３．１如果乱　ｔ＝，“　，则定理３．１的条件可换为下列条件：ｎ（１一西（“　））是有界的，　且对充分大的ｎ和Ｊ—ｉ＞ｎ　，有　

ｇ（　）　，　其中０＜ｏｄ＜１．　设｛　，ｎ　１）是一定义在概率空间（Ｑ，　，Ｐ）上的实值随机变量序列．记　＝∑　，　

表示由　。，　＋１，…，托生成的　一域．　如果随机变量序列｛　，ｎ　１）满足：当礼一Ｏ０时　

Ｑ（礼）：＝ｓｕｐ　ｓｕｐ　ｌＰ（ＡＢ）一Ｐ（４）尸（Ｂ）Ｉ—　０，　

那么称｛　，ｎ　１｝为一Ｏｌ一混合随机变量序列．如果随机变量序列｛Ｘｎ，ｎ　１）满足：当　ｎ＿＿＋。。时　

（ｎ）：＝ｓｕｐ　Ｅ［ｓｕｐ｛ＩＰ（ＡＩ　）一Ｐ（　）ｌ：Ａ∈　）］—　０　七＞１　

那么称｛Ｘｎ，ｎ　１｝为一　一混合随机变量序列．如果随机变量序列｛Ｘ　，ｎ　１）对任意　ｎ　２满足　

Ｃｏｖ（ｆ（Ｘ１，…，ｘｎ），ｈ（Ｘ１，…，　））　０　其中按坐标非降的函数ｆ，ｈ：Ｒ“一Ｒ使得协方差存在．则称序列｛　，几　１）是相伴随机　变量序列．如果随机变量序列｛　，ｎ　１）对｛１，２，…，ｎ）的任意不相交非空子集，和　，满　足　

Ｃｏ￣（ｆ（ｘｉ，ｉ∈　），夕（　，Ｊ∈　））　０　其中按坐标非降的函数．厂：Ｒ　一Ｒ和ｇ：ＲＪ—Ｒ使得协方差存在．则称序列｛　，ｎ　１）　是负相伴随机变量序列．　

Ｚ　Ｇ　＝　Ｘ　＾　一　ｌ一　∑　么　刀