第３８卷第５期 ２０１２年１０月 兰州理工大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖｏ１．３８ Ｎｏ．５ ０Ｃｔ．２０１２
文章编号：１６７３—５１９６（２０１２）０５—００２１—０４
阶非圆行星齿轮机构节曲线计算分析
胡赤兵，王亚洲，黄 洋，刘永平
（兰州理工大学机电工程学院，甘肃兰州 ７３００５０）
摘要：介绍非圆行星齿轮机构的原理和组成，建立以变中心距Ｎ—ｐＮ ３４型非圆行星轮系液压马达作为对象的分 析模型，推导出三阶非圆行星齿轮机构非圆齿轮的节曲线计算公式，具体给出节曲线应满足的两个条件的计算方 法及结果．在理论分析的基础上，采用Ｍａｔｌａｂ工具，以３４型变中心距非圆行星齿轮机构为例对其节曲线进行求解
并生成高阶椭圆曲线． 关键词：非圆齿轮；节曲线；Ｍａｔｌａｂ 中图分类号：ＴＨ１３２．４２４ 文献标识码：Ａ
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｉｔｃｈ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｉｒｄ－ｏｒｄｅｒ ｎｏｎ－ｃｉｒｃｕｌａｒ
ｐｌａｎｅｔａｒｙ ｇｅａｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ
ＨＵ Ｃｈｉ—ｂｉｎｇ，ＷＡＮＧ Ｙａ－ｚｈｏｕ，ＨＵＡＮＧ Ｙａｎｇ，ＬＩＵ Ｙｏｎｇ－ｐｉｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｃ￣Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｔｅｃｈ．，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００５０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎ－ｃｉｒｃｕｌａｒ ｐｌａｎｅｔａｒｙ ｇｅａｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｗｅｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｎ— Ｎ ３４一ｔｙｐｅ ｎｏｎ—ｃｉｒｃｕｌａｒ ｐｌａｎｅｔ ｇｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｈｙｄｒａｕｌｉｃ ｍｏｔｏｒ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｅｎｔｅｒ
ｄｉｓｔａｎｃｅ ｗａｓ ｓｅｔ ｕｐ，ａｎｄ ｔｈｅ ｐｉｔｃｈ ｃｕｒｖｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｗａｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｏｒ ｔｈｉｒｄ－ｏｒｄｅｒ ｎｏｎ－ｃｉｒｃｕｌａｒ ｐｌａｎｅｔａｒｙ ｇｅａｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔＷＯ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｉｔｃｈ ｃｕｒｖｅ ｓｈｏｕｌｄ ｓａｔｉｓｆｙ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｒｅｔｅ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｔｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ，ｔｈｅ
ｐｉｔｃｈ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ３４——ｔｙｐｅ ｎｏｎ—．ｃｉｒｃｕｌａｒ ｐｌａｎｅｔａｒｙ ｇｅａｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｗａｓ ｓｏｌｖｅｄ ａｎｄ ａ
ｈｉｇｈ－ｏｒｄｅｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｖｅ ｗａｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ—ｃｉｒｃｕｌａｒ ｇｅａｒ；ｐｉｔｃｈ ｃｕｒｖｅ；Ｍａｔｌａｂ
非圆齿轮节曲线设计是非圆齿轮设计的主要内 容，它是工程技术人员确定齿顶、齿根曲线，校核根
切、压力角及编制加工程序的依据 引．田立俭 利 用高精度分度圆齿轮的节曲线来代替非圆齿轮的节
曲线，将非圆齿轮的设计转化成对圆齿轮的设计．刘 伟等 。 针对现有的封闭非圆齿轮设计方法不能
任意给定的传动要求，提出了一种基于补偿思 的构建封闭非圆齿轮的方法．谭伟民等［４］根据推导
的滚切加工非圆齿轮最简数学模型，利用计算机图 形仿真方法，获得了椭圆齿轮的节曲线．但是对于三 阶非圆行星齿轮机构节曲线的研究文献并不多．对
此，本文以变中心距Ｎ－Ｃ￣Ｎ ３４型非圆行星轮系（见 图１）液压马达作为研究对象［＿５］，根据节曲线应满足
收稿日期：２０１１－０８—３１ 作者简介：胡赤兵（１９５２一），男，浙江东阳人，教授，博导 星轮 齿圈 阳轮
图ｌ非圆行星齿轮机构结构示意图 Ｆｉｇ．１ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｎｏｎ－ｃｉｒｅｔｄａｒ ｐｌａｎｅｔａｒｙ ｇｅａｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ
的条件，给出了三阶非圆行星齿轮机构的非圆齿轮 节曲线计算公式，最后利用编写的Ｍａｔｌａｂ计算程序
对其节曲线进行求解并生成了高阶椭圆曲线 ．
三 兰州理工大学学报 第３８卷
１三阶非圆行星齿轮机构节曲线计算
１．１中心轮的计算
中心轮１的节曲线是由椭圆演变而来，椭圆极
坐标方程式为
ｒ— （１）
Ｐ—ｎ（１一是。） （２）
式中：０为极角变量；ｎ为椭圆长轴半径；ｋ为椭圆的 偏心率，图２中椭圆对称中心到焦点的距离为 ．
如果保持椭圆上Ｄ点的向径ｒ不变，而将其极
角缩小整数倍 （图２中 为变化周期数， 一３）， 椭圆上原来的极角 变为以 ０，这样演变出来的新曲 线就是 阶椭圆（图２中Ｄ点成为Ｄ 点），其方程
基本同于式（１），只是分母的第二项变为ｋｃｏｓ ０． 为了方便讨论，作上述极坐标的旋转，即新极轴０３：
由原坐标轴ＯＸ绕极点０旋转兀角得到，为此，Ｄ 点
在原坐标系下的坐标是（ｒ， ），在新坐标系下的坐标 为（ｒ１，０１），则
ｎ—ｒ（０１） ０１—７ｃ＋０ （３）
（４）
图２，ｌｌ阶椭圆的演变 Ｆｉｇ．２ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｎｌ－ｏｒｄｅｒ ｅｌｌｉｐｓｅ
在新坐标系下，若取 ＝：＝３（即０１—０～２７ｃ，ｒｌ变
化为３个周期）时，新曲线为三阶椭圆，则方程：
ｒ （ ）一再 ５）
即为中心轮１的节曲线的极坐标方程．
１．２内齿圈的计算
已知中心轮的节曲线方程为
ｒ１一ｒ１（ １） （６） 令行星轮与中心轮和内齿圈的节曲线相切在
、 两点．ｍ点的节曲线切线正向与向径ｒ 的夹角
为 ， 点的节曲线切线正向与向径ｒ。的夹角为
／１ｚ，在转化机构的传动过程中，两节曲线在切点处是 纯滚动，有
ｔａｎ １一 Ｙ＇Ｉ （７）
ｔａｎ ２一 ｒ３ （８）
由图３可得
ｔａｎ ａ１一一— 一 （９） ｒ１十ｒ２ｓｉｎ ｌ ｒ３一ｒ１＋ｒ２ｓｉｎ １＋ｒ２ ｓｉｎ ２ （１０）
ｄｒ３＝ｄｒ１＋ｒ２ｅＯＳ １ １＋ｒ２ ＣＯＳ，ｕ２ ２（１１）
。＝＝＝ （１２） 。 ｒ２ ｓｉｎ ， ｄＯ３一ｄｒａｔａｎ／ｚｚ （１３） ｒ３ ０３一Ｉ垒 ＋ Ｊ ０ ｒ３ｔａｎｐｌ
Ｊ’ （ ＋ ）
（１ ４）
图３变中心距非圆行星齿轮机构的转化 Ｆｉｇ．３ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎ－ｃｉｒｃｕｌａｒ ｐｌａｎｅｔａｒｙ ｇｅａｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ
由以上各式可以得到内齿圈节曲线的方程式：
ｒ３一ｒ３（０３） 当ｒ２一ｒｚ 时， — ｚ， 一 ｚ，内齿圈的节曲
线方程为 ｒ３＝＝＝ｒ１＋２ｒ２ｓｉｎ １ （１５）
一＇ ｒｉ ｄ０１＋ｆ０ ｒ３０ ｒ ３ （１６） Ｊ Ｑ
２节曲线应满足的两个条件
在传动过程中，根据弧长相等原理，相邻２个行
星轮问的弧长距是固定的．同时作为一个能够实现 第５期 胡赤兵等：三阶非圆行星齿轮机构节曲线计算分析 ・２３・
的行星轮系机构，齿轮的节曲线还应满足下述的条
件 引． ２．１节曲线封闭条件 为了使轮系能够连续运动，太阳轮和内齿圈的
节曲线应是连续封闭的．即
一ｆ ＋ｆ ｄ０ （１７） ７＂ｌ３ Ｊ ０ ｒ３ Ｊ ０ ｌ ３ Ｏｆｆｌ ２．２节曲线上轮齿均匀分布条件
太阳轮的节曲线周长Ｌ应等于７ｃｍｚ ，才能使 轮齿均匀分布．即
＝＝＝ （１８）
在此结构中，对于节曲线ｒ 的变化周期为ｍ
的中心轮，它的节曲线是由 段相同的曲线组成， 只要在一段节曲线上轮齿能够均匀分布，此时一个
周期内的齿数ｚ ／ 也是整数．对于内齿圈ｒ３变化
一个周期的节曲线弧长与ｒ 变化一个周期的弧长 应该相等，因此只要中心轮节曲线上轮齿能均匀分 布，内齿圈节曲线上的轮齿一定也能均匀分布．
中心轮的齿数和内齿圈的齿数应满足：
Ｚ３一Ｚ１ ｎ．＿Ａ３ （１９） １ 式中：ｚ 为中心轮齿数，ｚ 应是 的整数倍；Ｚ３为 内齿圈齿数；ｒｔ 为中心轮阶数ｉｎ。为内齿圈阶数．
对于圆齿轮行星轮，若假定中心轮和内齿圈都 转化成齿数为Ｚ 和Ｚ３的圆齿轮，则此时行星轮齿 数 应为
． １ Ｚ２ 一÷（Ｚ３一Ｚ１） （２Ｏ） 厶 因为中心轮和内齿圈的节曲线不是圆，向径 ｒ，、ｒ３的值也是变化的，则有
１ Ｚ２＜÷（Ｚ３一Ｚ１） （２１） 厶 根据标准齿轮的无根切条件，直齿轮的最小齿
轮为１７，在实际应用中，通过适当调整压力角和齿 顶高系数，直齿轮齿数Ｚ２的最小值可以取到１Ｏ．为
了加工方便，一般要把行星轮齿数做成偶数值，使行 星轮在最大和最小向径都以轮齿或齿槽与非圆齿轮 相啮合． 由式（１９，２１）可得
１ １０≤Ｚ２＜ Ｊ－（Ｚ３一Ｚ１） （２２） 厶
Ｚ１≥ （２３） ，ｚ３一，ｚ１ 综上所述，齿数Ｚ１应满足：
＜Ｚ１＜—２０ｎｌ—ｒ３ｍａｘ （２４） 式中：７＂３ 为内齿圈节曲线最大向径，ｍ为齿轮模
数． 在进行非圆行星齿轮机构的设计时，如果参数
选择的不合适，有可能使中心轮和内齿圈的节曲线
发生干涉，使行星轮系无法运转．实际上，由于非圆
齿轮的齿顶高不可能为零，因此还应保证两非圆齿
轮的齿顶不发生干涉，使内齿圈最小向径处的齿顶 大于中心轮最大向径，则不发生干涉的条件：
ｒ３ ｉ ＞ｒ１ ＋２ｈ （２５） 式中：ｈ 为非圆齿轮的齿顶高． 由非圆行星轮系的节曲线设计可知：
ｒ１ 一Ａ（１＋尼） （２６）
ｒ３ 一ｎ ｉ ＋２ｒｚ—Ａ（１一是）＋ｍＺ２ （２７） 由式（２５～２７）可得 Ｚ２＞—２Ａｋ＋—２ｈ． （２８） ｍ 将计算所得Ａ、ｋ值代人式（２８）进行验证，直到 满足条件，即为所求的值ｌ＿９］．
３ Ｍａｔｌａｂ编程求解
由于行星轮的最小齿数不能小于１Ｏ，相对应的 就可算出中心轮的齿数应大于等于６０．若取ｚ２—
１Ｏ，Ｚ１＝６０，则Ｚ３＝８０．由于模数与节曲线的形状无 关，可暂取ｍ一１．０．把相应的ｚ 、Ｚ 、ｍ值代人节曲
线的条件式（２２，２３），解得三阶椭圆的偏心率ｋ一０，
不满足生成椭圆条件．故改变中心轮的齿数，取ｚ 一６６，则Ｚ３＝８８，解得ｋ＝０．１４１ ７， 一３１．２７２ ８．把
相关的数值代人不发生干涉的条件式（２５），当取齿 顶高ｈ 一Ｏ．８时，存在齿顶干涉．如此反复修改Ｚ 、
Ｚｚ，最后可得到三阶椭圆曲线最佳值Ｚ２—１２，Ｚ１—
７８，ｋ１一Ｏ．１２９ ６，Ｐ１—９３．１９１ ２．同理可计算出四阶 椭圆曲线时的Ｚ３、Ｐ。、是。． 将上述结果代人Ｍａｔｌａｂ ７．１生成曲线如图４
所示，中心轮节曲线为三阶椭圆曲线（见图４ａ），内 齿圈节曲线为四阶椭圆曲线（见图４ｂ），计算结果见 表１．
表１三阶、四阶椭圆曲线计算结果 Ｔａｂ．１ Ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ３ｒｄ，４ｔｈ－ｏｒｄｅｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｃｉｌｌｒｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
通过此机构传动时节曲线应满足的两个条件计 算分析出合理的三阶和四阶的椭圆曲线参数，利用
Ｍａｔｌａｂ软件比较精确地生成了高阶椭圆曲线，为三 阶、四阶椭圆齿轮齿廓图的绘制提供了基础．