弹簧质量阻尼系统的建模与控制系统设计

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 分 数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业

学 年 学 期：第一学年第一学期 课 程 名 称：线性系统理论 学 生 姓 名： 学 号： 提 交 时

目录 目录........................................................................................................................ 2 1 研究背景及意义................................................................................................. 3 2 弹簧-质量-阻尼模型 .......................................................................................... 3 2.1 系统的建立.............................................................................................. 4 2.1.1 系统传递函数的计算................................................................... 5 2.2 系统的能控能观性分析.......................................................................... 7 2.2.1 系统能控性分析........................................................................... 8 2.2.2 系统能观性分析........................................................................... 9 2.3 系统的稳定性分析................................................................................ 10 2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法......................................... 10 2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 ................................................... 10 2.3.3 Simulink仿真结果 ..................................................................... 12 2.4 系统的极点配置.................................................................................... 15 2.4.1 状态反馈法................................................................................. 15 2.4.2 输出反馈法................................................................................. 16 2.4.2 系统极点配置............................................................................. 16 2.5系统的状态观测器 ................................................................................ 18 2.6 利用离散的方法研究系统的特性........................................................ 20 2.6.1 离散化定义和方法..................................................................... 20 2.6.2 零阶保持器................................................................................. 22 2.6.3 一阶保持器................................................................................. 24 2.6.4 双线性变换法............................................................................. 26 3.总结................................................................................................................... 28 4.参考文献........................................................................................................... 28 弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计 1 研究背景及意义 弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。 2 弹簧-质量-阻尼模型

数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示， 图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械结构简图

其中、表示小车的质量，表示缓冲器的粘滞摩擦系数，表示弹簧

的弹性系数，表示小车所受的外力，是系统的输入即

,表示小车的位移，是系统的输出，即， i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中，，，，，。 2.1 系统的建立 由图2.1，根据牛顿第二定律，分别分析两个小车的受力情况，建立系统的动力学模型如下：

对有：

对有： 联立得到： 对： 对： 令，，，，，; ， 得出状态空间表达式： 所以，状态空间表达式为：

+ 由此可以得出 已知：，，，，， 代入数据得： 2.1.1 系统传递函数的计算 在Matlab中，函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)，其中iu是输入值。

用Matlab将状态空间表达式表示为传递函数：

在输入1单独作用的情况下 A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5]; B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5]; C=[1 0 0 0;0 1 0 0]; D=[0 0;0 0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

运行程序，得到： num = 0 -0.0000 1.0000 4.5000 200.0000 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000 den = 1.0e+004 * 0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000

在输入2单独作用的情况下： A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5]; B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5]; C=[1 0 0 0;0 1 0 0]; D=[0 0;0 0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)

运行程序，得到： num = 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000 0 -0.0000 0.5000 4.5000 200.0000 den = 1.0e+004 * 0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000

由此可知：

位移对外力的传递函数是： 位移对外力的传递函数是：