极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标概述第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。

他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。

此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。

瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。

J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。

在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。

有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。

通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。

国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。

由此看来，极坐标已应用到各个领域。

1.1极坐标系的建立在平面内取一个定点0，叫作极点，引一条射线0X，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内任意一点M，用表示线段0M的长度，表示从0X到0M的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。

这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M , •若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。

图1-1如图1-2,此时点M的极坐标可以有两种表示方法:> 0，M ，> 0，M ，同理，，与也是同一个点的坐标。

又由于一个角加2n 后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯。

但若限定0，0 ，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可对应了。

1.2曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线可以用含有这两个变数的方程，0来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。

求曲线的极坐标方程的方法与步骤:建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为，；写出适合条件的点M的集合;列方程，化简所得方程;证明得到的方程就是所求曲线的方程。

三种圆锥曲线统一的极坐标方程:FK的反向延长线FX为极轴,过点F作准线L的垂线，垂足为K ,以焦点F为极点,建立极坐标系。

设M ，是曲线上任意一点，连结MF ,作MA丄L , MB丄FX，垂足分别为A, B •那么曲线就是集合p e设焦点F到准线L的距离FK P,由MF ,MA BK P COS---------e p cos即一1 ecos这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。

其中当0 e 1时，方程表示椭圆，定点F是它的左焦点，定直线L是它的左准线。

e 1时，方程表示开口向右的抛物线。

e 1时，方程只表示双曲线右支，定点F是它的右焦点，定直线L是它的右准线。

若允许0，方程就表示整个双曲线。

1.3极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，其直角坐标x, y，极坐标是，，从点M作MN丄OX，由三角函数定义，得x cos , y sin .进一步有x注：在一般情况下，由tg确定角时，可根据点M所在的象限取最小角2极坐标在平面解析几何中的应用2.1极坐标法求到定点的线段长度解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。

但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。

巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。

2.1.1以定点为极点如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。

解：如图2-1所示,以0为极点，/ AOB 的平分线为极轴，建立极坐标系，设P 点极坐 标为p ，,则PD由 PDgPF| PE 2得化简得化成直角坐标方程为sin,PFsin2 ・sinsin22h2-coscos2h 2x2 - ycosPE h cos2hcos.2h2-0cos这是以，0为圆心，以 理A 为半径的圆，所求的轨迹是该圆在等腰coscosOAB 内部的部分。

2.1.2以原点为极点如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应 用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。

例1设等腰 OAB 的顶角为2，高为h ，在OAB 内有一动点p ，到三边OA OB2OC 的距离分别为|PD 、PF 、PE ，并且满足关系|PDgPF| PE|，求P 点的轨迹。

图2-12hsin2~cos2 2例2已知椭圆24 y 1，直线L:$ 8 1，P是L上一点，射线OP交椭圆于R，2又点Q在OP上，且满足|OQgOP |0R，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

的极坐标方程为直线L的极坐标方程为482 22cos 3sin由(2)式知242cos 3sin12,有解：如图2-2所示, 以0为极点，OX为极轴, 建立极坐标系。

则由互化公式知椭圆2 2cos2 3sin2481? 、P 2, 2cos 3sin，则由⑴式知24所以243si n2g2cosr 2 2 小2 cos 32x2482cos2 3sin2.2 sin4 cos 6 sin3y24x 4y 02x 1522y 153x, y不同时为0点Q的轨迹是以1, 1为中心，长轴、短轴分别为且长轴平行与X轴的椭圆,3去掉坐标原点。

2.1.3以焦点为极点凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点（椭圆左焦点，双曲线右焦点），应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。

例3设0为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦。

已知| OF a，PQ b求OPQ的面积。

2.2极坐标简解与角有关的解析几何题含有已知角或公共顶点的一类解析几何题，运用极坐标系（或化直角坐标系为极坐标系）进行解题，常可避繁就简，化难为易，达到事半功倍的效果。

下面分类举例说明。

解：如图2-3所示, 以F为极点，F0的反向延长线FX为极轴，建立极坐标系。

则抛物线的极坐标方程为于是PQ PF QF2a1 cos 2a1・2sin1S OPQ 2PQg0Fsin2a 4asin图2-3a、、221含有已知角，角顶点为极点例4已知P, Q 在/ AOB 的两边OA OB 上，/ AOB 二一,POQ 的面积为8,求PQ 3 的中点M 的轨迹方程。

OB 为极轴，建立极坐标系，如图2-4所示，设P 1, 0，Q 2，-，3M ，，则sin 832.2.2含有已知角，坐标轴平移，化角顶点为极点 例5已知曲线G : y .1 x 1 2，顶点A (2, 0)，点B 是G 上的动点， ABC 是以BC为斜边的等腰直角三角形，顶点 A 、B C 按顺时针排列，O 为坐标原点，求OC 的最大值 及点C 的坐标。

12 g3得x因为 SPOM SQOM1 -S 2POQ所以 12 1 21sin sin (― 3(1)代入(4)并化简，得2si n sin(— 3 2sin si n(— 32、入即为所求。

)16解：以O 为极点,解：曲线G化为：x2 y2 1 y ,以点A为新坐标系原点，则曲线G为(x' 2)2.2y'2 1 y' 0以点A为极点，x'轴的正方向为极轴，建立极坐标系。

如图2-5所示,cos 2)2sin设B 0, 0 ,C(',')，则则曲线G为(1)⑵⑵代入⑴得所以点C的轨迹方程为cos'sin'sin(y'2)2cosx' 1故当OC过(3)的圆心2,2 时, OC的最大值为1 2、2，此时点⑶C的坐标为2.3极坐标法证明几何定理在平面几何证明中，极坐标法是一种重要的方法，应用十分广泛，下面以部分平面几何中著名定理为例，谈谈极坐标法在证明中的应用。

231应用圆心是（a,0），半径是a的圆的方程2acos来证明例6求证：圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积（托列迷定理）证明：如图2-6，以D为极点，DO的延长线为极轴建立极坐标系。

设圆的半径为a，则e O : 2a cos .Q A（i,i）、B（2,2）、C（3, 3）二点都在eO 上，AD 1 2acos 1, BD 2 2acos 2,CD 3 2acos 3另由正弦定理得AB 2asin 12，BC 2asin 2 3，AC 2asin 1 3ABgCD BCgDA 4a2 sin 1 2 cos 3 sin 2 3 cos 12a2{ sin 1 2 3 sin 1 2 3 sin 2 3 1 sin 2 3 1 } 22a [sin 1 2 3 sin 1 2 3 ]4a2 sin 1 3 cos 2ACgBD2.3.2应用极点在圆上，圆心为a, 0的方程2acos 0证明例7自圆上一点引三弦，并以它们各自为直径画圆。

求证：所画三圆的其它三交点共线（沙尔孟salmon定理）。

COPA iP 3C iP 2A 3 3 C图2-7证明：如图 2-7 ,0A 、OA ,、0A 2、OA 3 分别是 e C 、e G 、e C 2、e C 3 的直径，R 、F 2、F 3分别是e G 与e C 2、e C 2与 e C 3、e C 3与 e G 的交点，以O 为极点，OA 的延长线为极轴建立极 坐标系，为简便计，设 OA 1，极轴与OA ,、OA 2、OA 3的交角分别为，、2、 3，则 OA cos 广 OA ? =cos 2、OA =cos 3 e 匕： cos 1 cos 1cos 2 cos 2cos 3 cos 3 e C 2： e C 3： 设 P 11, 1，则由（1）、（2）得cos 1 cos1cos 2cos211cos 1 1cos11—cos 22cos 222Q cos 2 1cos 2 2所以 Q (1) (2) (3)积化和取k 0,得2 2 2k 2 2 k 12k 整数12，代入（1）中，得 cos 1COS 2P l 点坐标为(cos 1COS 2, 12）.同理应用轮换得P 2点坐标为（cos 2 cos 3, 23）， P 3点坐标为（cos 3 cos1).显然R、P2、P3二点坐标满足法线式方程故R、P2、P3三点共线，命题获证2.3.3应用圆的极坐标方程、两点或直线方程和法线式方程证明例8求证：三角形外接圆上任一点在三边上的射影共线(西摩松cos cos 1 cos 2 cos 3图2-8证明：如图2-8，以P为极点，PO的延长线为极轴建立坐标系设A1A2A3的外接圆直径为d，则e O的方程为d cos ，设顶点为A dcos, i i 1,2,3 i0,2 A1A2的两点式方程为sin 2 1 sin 2d cos1sinsin 2 1 cos 2 sin1cos 1 d sin 2 1 cos 1 cos1 . sin222 1 sin 2 1dsin 2 1cos 1 cos 2sin 2 1 cos( 1 2) dsin 2 1 cos 1 cos 2Q sin2 1d cos 2cos( 1 2) dcos 1 cos 2这是AA2的法线式方程，故知垂足B/勺坐标为(d cos 1 cos 2, 1 2) •轮换三个顶点的坐标，得B2(d cos 2 cos 3, 2 3)、B3(d cos 3 cos 1, 3 1)，显然B2、B3三点的坐标满足法线式方程cos( 1 2 3) d cos 1 cos 2 cos 3B1、B2、B3三点共线，定理得证Sinson定理)。