高考理科数学试题分类汇编：1集合一、选择题1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U A B ð( ) A. {}134，， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则A. ()01，B. (]02，C. ()1,2D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.*,A N B N==B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C. {|01},A x x B R =<<=D. ,A Z B Q == 【答案】D5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ⋃=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【答案】B.6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C7 . （高考陕西卷（理））设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为 (A) [-1,1] (B) (-1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞- 【答案】D8 . （普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】B9 . （高考四川卷（理））设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B = ( )(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)∅【答案】A10. （高考新课标1（理））已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<<,则 ( )A. A∩B=∅B. A∪B=RC. B ⊆AD. A ⊆B【答案】B.11. （高考湖北卷（理））已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B = ( )A. {}|0x x ≤B. {}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D. {}|024x x x <≤≥或【答案】C12. （普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则=N M(A){}2,1,0 (B){}2,1,0,1- (C){}3,2,0,1- (D){}3,2,1,0【答案】A13. （普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A .{}0B.{}0,2C.{}2,0-D.{}2,0,2-【答案】D14. （普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则=⋃T S C R )(A. (2,1]-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D. ),1[+∞【答案】C15. （普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = . 令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B. (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈(一)必做题(9~13题) 【答案】B16. （高考北京卷（理））已知集合A={-1,0,1},B={x |-1≤ x <1},则A∩B= ( ) A. {0} B. {-1,0} C. {0,1} D. {-1,0,1} 【答案】B 17. （上海市春季高考数学试卷(含答案)）设全集U R =,下列集合运算结果为R 的是( ) (A)u Z N ð (B)u N N ð (C)()u u ∅痧 (D){0}u ð【答案】A 二、填空题18. （普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））集合}1,0,1{-共有___________个子集.【答案】8 三、解答题19. （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））对正整数n ,记{}1,2,3,,m I n = ,,m m m P I k I ⎫=∈⎬⎭.(1)求集合7P 中元素的个数;(2)若m P 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方,则称A 为“稀疏集”. 求n 的最大值,使m P 能分成两人上不相交的稀疏集的并. 【答案】高考理科数学试题分类汇编：3三角函数一、选择题20 . （普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C. 43- D. 34- 【答案】C21 . （高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B22 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C23 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-【答案】B24 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】A25 . （普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x()f x 既奇函数,又是周期函数【答案】C26 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D27 . （高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A28 . （上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x = 【答案】B29. （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））004cos50tan 40-= ( )1- 【答案】C30. （高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b . 若2sin ,a B A =则角等于A.12πB.6πC.4πD.3π【答案】D31. （高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6π C. 3π D. 56π【答案】B二、填空题32. （普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.33. （高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】. 34. （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________35. （上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________ 【答案】2π36. （高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.37. （高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 38. （高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos 3C π=-39. （普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】40. （普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.【答案】π41. （上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B === ，，,则b=_______ 【答案】742. （普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c . 若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____. 【答案】π3243. （普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】44. （高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________. 【答案】π45. （上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________ 【答案】5 三、解答题46. （高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A . (I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =所以2sin cos sin A A A =. 故cos A =.(II)由(I)知cos A =,所以sin A ==. 又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13B A =-=. 所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a Cc A==.47. （高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ)()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.48. （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C的对边分别是,,a b c ,且222a b c ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值. 【答案】由题意得49. （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】50. （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】51. （高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值. 【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 52. （普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若sin sin A C =,求C . 【答案】53. （高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos BA B =54. （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值. 【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin B ==,由正弦定理得sin sin a B A b ==因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=55. （普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性. 【答案】解:(Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ. 所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =56. （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点. 【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯=综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 57. （普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分. 已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ= ＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-b b a a b a ,又∵1sin cos ||2222=+==ααa a ,1sin cos ||2222=+==ββb b ∴222=-b a ∴0=b a ∴b ⊥a(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0∴πβπα61,65==58. （普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 59. （高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合. 【答案】解:(I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ 60. （普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分. 如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径. 一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C . 现有甲. 乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m . 在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB==(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D ,CBA设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min.故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.61. （高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值. 【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 62. （普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.CBADMN(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值. 【答案】63. （高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1) 若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA(2) 【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan αtan PBA ∠. 64. （上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1) (2)【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=. 由31arctan3θ=,知31tan 3θ=, 而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =.故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，.(2)由题意,点n P 的坐标为1(2 0)n -，,tan n OAP ∠=11tan tan()n n n n n OAP OAP θ-+=∠-∠===.+≥,所以tan nθ≤=,=,即4n =时等号成立. 易知0 tan 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数,因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为. 65. （高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-错误！未找到引用源。