注意：不能选取 i1和u1为状态。 (为什么？)
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2.3 状态方程的导出
例3： 设一系统由如下微分方程组描述：
1 x 2 x2 x 1 2 x1 u x x
令 则
2 x3 x
1 x3 x2 x 1 x 3 x1 u x
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2.2 状态方程和输出方程
非线性时变状态方程的一般表示为：
(t ) f ( X , u, t ) X
其第i行为
i (t ) f i ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),...,ul (t ); t ) x
非线性时变输出方程的一般形式为
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2.3 状态方程的导出
例1
k f(t) m
y(t)
h
d2 y dy m 2 h ky (t ) f (t ) dt dt
x1 (t ) y (t ) X (t ) (t ) y x 2 (t )
(t ) AX (t ) Bu(t ) X
其中
X (t ) R n , u (t ) R l ,
状态矩阵A是n×n矩阵,输入
矩阵B是n×l 矩阵。 状态方程的第i行为
i (t ) x
n l
aij x j (t ) bik u k (t )
j 1 k 1
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1 R Y (t ) 1 1 R2 0 1 X (t ) R1 u (t ) 1 0 R2
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2.1 状态与状态空间
1 1 1 1 1 (t ) C1 R1 R2 R2C1 X (t ) R C u (t ) X 1 1 1 1 0 R2C2 R2C2
则
1 (t ) y (t ) x2 (t ) x k h 1 2 (t ) (t ) x1 (t ) x2 (t ) f (t ) x y m m m
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2.3 状态方程的导出
即
1 (t ) 0 x (t ) X k 2 (t ) x m 1 0 h X (t ) 1 f (t ) m m
du 2 u1 u 2 dt R2C 2
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1 1 u1 u2 R2C 2 R2C 2
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2.1 状态与状态空间
1 1 1 1 1 (t ) C1 R1 R2 R2C1 X (t ) R C u (t ) X 1 1 1 1 0 R2C2 R2C2
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2.2 状态方程和输出方程
当A和B为常数矩阵时，称状态方程为定常的； 当其包含有时变元时，称之为时变的。
线性输出方程的标准形式为
Y t CX t Du t
其中
Y R m , C R mn , D R ml
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例2 考虑图所示的 RC 电路。
u
由电路原理，知
du 2 (t ) i2 (t ) C2 , dt u (t ) u1 (t ) i1 (t ) , R1
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R1
i1
R2
C1
u1 C 2
i2
u2
du1 (t ) i1 (t ) i2 (t ) C1 dt u1 (t ) u 2 (t ) i2 R2
x1 (t ) x 2 (t ) X (t ) x n (t )
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2.1 状态与状态空间
例1
k f(t) m y(t) h
如图所示的机械系统的运动方程为
d2 y dy m 2 f (t ) ky (t ) h dt dt


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2.1 状态与状态空间

状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量：若完全描述系统行为需要n个状态 变量 x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )， 将其视为向量 X (t ) 的分量，则向量 X (t ) 称为状态向量，记为
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第二节 状态空间与状态方程
第二节 状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间 状态方程和输出方程 状态方程的导出
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第二节 状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间 状态方程和输出方程 状态方程的导出
Y t h ( X , U , t )
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2.2 状态方程和输出方程
将状态方程和输出方程合称为运动方程。
线性系统的运动方程可写成：
A B X X C D U Y
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2.1 状态与状态空间
令
u1 (t ) X (t ) 状态向量 , u 2 (t ) i1 (t ) Y (t ) 输出向量 i2 (t )
有
du1 u u1 u1 u 2 dt R1C1 R2C1 1 1 1 1 1 u u u 1 2 C1 R1 R2 R2C1 R1C1
可以认为y(t) 和dy(t)/dt 是该系统的一组状态变量， 相应的状态向量为
x1 (t ) y (t ) X (t ) (t ) y x 2 (t )
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2.1 状态与状态空间
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2.3 状态方程的导出
整理得
1 x2 x3 x 2 x3 x 3 x1 x2 x3 u x
令
X x1
x2
x3
T
则
0 1 1 0 0 0 1 X 0 u X 1 1 1 1
A
B
1 R Y (t ) 1 1 R2
C
0 1 X (t ) R1 u (t ) 1 0 R2
D
则
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(t ) AX (t ) Bu(t ) X
Y (t ) CX (t ) Du (t )
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2.1 状态与状态空间
也可选取 u1和u1 u2 为状态，即令
u1 (t ) X (t ) u1 (t ) u 2 (t )
则
1 RC (t ) 1 1 X 1 R1C2
1 1 R C R2C1 X (t ) 1 1 u (t ) 1 1 1 1 R2 C1 C2 R1C1
简记为 ( A, B, C , D), 当D = 0时， 记为 ( A, B, C )。
运动方程 = 状态方程（1阶微分方程组）
+输出方程（代数方程组）
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第二节 状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态空间与状态方程 状态方程和输出方程 状态方程的导出

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第二节 状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间 状态方程和输出方程 状态方程的导出
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2.2 状态方程和输出方程
状态变量的一阶微分方程组称为状态方程。 线性状态方程的标准形式为：
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2.3 状态方程的导出
a1 a2 y a3 y b0u b1u b2u y 例4： y 其中 y为输出， u为输入
算法1：（一种能控标准型） 1 0 1 x x 2 0 0 3 x a3 a 2 y b2 b1 b0
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2.1 状态与状态空间

在 u (t )(t [t0 , ))已知时，能唯一地确定系统 运动（或行为）的在时刻 t0 的初始信息，称为 该系统在 t0 时的状态。 状态： 在未来外部输入已知时，为完全描述系统 行为（或运动）所需的最小一组变量。 系统的行为由某一时刻的状态以及该时刻之后的外 部输入唯一地确定。

……
？可否选取 i1和u1为状态。 (为什么？)
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2.1 状态与状态空间

对于一给定的系统，状态变量的选取不是唯 一的。