《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A班级： 姓名： 学号： 分数：我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一．选择题（每小题3分，共10分）1. 平面的法式方程是 （ ）.Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r zq y p xＣ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 222>=++=-++p p z y x γβαγβα其中Ｄ. ()0,1cos coscos 0cos cos cos 222>=++=+++p p z y x γβαγβα其中2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=⋅n n Ｂ. 021=⨯n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对3. 平面0:11111=+++D z C y B x A π 与平面0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ.212121C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A AＣ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对.4. 1111111:n z z m y y l x x l -=-=-与2222222:n z z m y y l x x l -=-=-是异面直线，则必有 （）.Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ.0212121≠++n n m m l lＣ. 0212121222111=---z z y y x x n m l n m lＤ. 0212121222111≠---z z y y x x n m l n m l .5. 若向量γβα,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ）Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。

Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。

Ｃ. 每个向量都不能用其它向量表示。

Ｂ. 有某个向量不能用其它向量表示。

二．判断正误（各2分），并用举例、证明、给出正确答案（不必写出推算过程）、或表叙有关定理等方法，说明你的判断依据（各3分），（共25分）。

1. 若c a b a⨯=⨯，且0≠a ，则有c b=答： 是，否（将不对的划去，下同） 理由：2. 若b a b a-=+，则有a b⊥。

答：是，否 理由：3. 方程1=r 在球坐标系和柱坐标系下表示的是同一个曲面。

答：是，否 理由：4. 方程()()()042,,332=-+--=yx z y x y x z z y x F是一个锥面方程。

答：是，否 理由：5. 存在某个过x 轴的平面，它与椭球面 194222=++z y x 交线是一个圆。

答：是，否 理由：三．计算（第四题10分，其它每题各7分，共45分）（1）设平面在三个坐标轴的截距的比依次为1:)2(:2-，并且该平面到原点的距离为3，求此平面的方程。

（2）求直线⎩⎨⎧=++-=--+02012z y x z y x 在平面034=++-z y x 的投影柱面。

（3）求由两平面2 x - y + z = 7，x + y + 2 z = 11所成的两面角的角平分面方程。

（4）判断直线的相互位置。

如果它们相交或平行，求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离和公垂线方程（各5分）。

ⅰ.01123-==-z y x 与 10211z y x =-=+ ；ⅱ.⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x（5）设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=zx z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这个柱面的方程。

（6）求出直线11112-==-z y x 围绕z 轴旋转一周所形成的曲面的方程，并用平行截痕法画 出该曲面的图像。

四. 证明题（每题5分，共10分） 1. 三角形的三条高线相交于一点。

2. 方程 (x + y )(y + z )= x+2 y + z 表示一个柱面，并求出柱面母线的方向向量。

五. 作出曲面24x z -=，24x y -=，及三坐标平面所围成的立体在第一卦象部分的立体图形。

答案：一．选择题（每小题3分，共15分）1. B.2. D .3. B .4. B .5. C. 二．填空题（每小题3分，共15分）1. 1. ππk 22+-2. 1sinh3. i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛±32ππ.4. 1.5. 1!+m sm .三．计算（每题7分，共49分）（1）设()()23233xy l x i y x my z f ++-= 为解析函数，试确定m 、l 的值。

解：2323,3xy l x v y x my u +=-= （2分）由柯西—黎曼方程 x y y x v u v u -==,，得2222333,26y l x x y m y x l y x --=-=- （3分）。

故当l = -3 , m = 1时，函数解析（2分）。

（2）()i Ln +1 解：()()分）其中实部、虚部各分）（分）（2(4)24(2ln 21311ln 1ππk i i Arg i i i Ln ++=+++=+（3）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰czz d z e cos Re ，其中c 为从1- i 到0的曲线y = - x 2解：()()()()()()()分）（分）（分）（分）（11cosh 1sin 1cos 1cos Re 21sinh 1cos 1sin 1cosh 1sin 1cos 121sin 12sin cos 101--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∴++--=-+-=+=+⎰⎰--e z d z e e i e i e ze z d z ec z i iz cz（4）⎰=1cos z z d z z 解：)1(2)3(cos 2cos 3cos 01分分分），可得由柯西积分公式（在复平面中解析，所以因为i z i z d z zz z z ππ====⎰（5）()z d z z z z ⎰=++2sin 1sin 1解：被积函数()zz z sin 1sin 1++的奇点有πk a k = 和() ,2,1,01±±=-=k k b k π，除10-=b 是可去奇点外，都是一级极点（1分）。

因只有00=a 和10-=b 在曲线2=z 内（1分），故由留数定理，得()()()()()分）（分）（分）（11sin 220sin 1sin 1lim 221,sin 1sin 1Re 0,sin 1sin 1Re 2sin 1sin 102iz z z i z z z s z z z s i z d z z z z z πππ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+'++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++→=⎰（6）给定调和函数 y x u -=3，求调和函数v ，使得复函数iv u z f +=)(成为一个解析函数，且满足1)(=-i f 。

解：()()()()分）。

故所求调和函数为分）。

（从而有时得知当，又由分）（为任意实常数）（其中分）（分）（得，又由分）（1(3313,0,1,01131,11233,3++===-===-++=∴+=∴='-=+==∴==⎰y x v c v y x i f c c y x v c x x c x c u v x c y dy v u v y x x y（7）将复函数z sin 展成（z-1）的幂级数，并写出级数的收敛域。

解：已知()()()()+-+-+-=++-+-+-=+n n n n z n z z z z n z z z z 2421253!211!41!211cos !1211!51!31sin()分）3(∞<z所以有()[]()()()()()()()()()()()()())2(1!12111!511!3111cos 1!2111!411!2111sin )2(1sin 1cos 1cos 1sin 11sin sin 1253242分分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+--+---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+--=-+-=+-=+ n nn nz n z z z z n z z z z z z四. 积分变换（每题5分，共15分） 1. 已知()t e t t f 2-=，求 L ()[]t f 解：[]()[][])2(21,)3(12分分+==∴=-s e t L t f L st L t2. 已知()412++=s s s F ，求 L -1()[]s F解：()[])2(2sin 212cos )3(4221421211分分t t s L s s L s F L +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=---3. 用拉普拉斯变换的微分性质证明 []11sin 2+=s t L解：()()()()()()()[]()[]()()()[][]()[]11sin 11sin sin 200,11000;sin ,cos sin 222+=-=-'--=''='=-=''='=s t L t L s t L f f s t f L s t f L f f t t f t t f t t f 从而得到分得分由微分性质分，并且有满足五. 证明题（6分）：设幂级数∑∞=0n nn z a 在z 0 处条件收敛，证明z 0 是该级数收敛域边界上的点。

证明：首先，因为幂级数∑∞=0n nn z a 在z 0 处收敛，由阿贝尔定理，对一切满足0z z <的z，都有幂级数∑∞=0n nn z a 在z处绝对收敛，从而知收敛半径0z R ≥ （3分）。

其次，若0z R >，则由于幂级数∑∞=0n nn z a在R z <中绝对收敛，故幂级数∑∞=0n nn z a 应该在z 0 处绝对收敛，这与已知产生矛盾。

因此得到0z R =，进而z 0 是该级数收敛域边界 上的点。

证毕（3分）。