WORD 格式整理 .230x3 3)10、计算题与证明题1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c ca ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 abc 0所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 02．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3（1） |a b| a bsin 4 （ 2）（1）22 2得 a b 225所以 a b 54．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0ij xy 152y 5zi z 2x j 5x y k 0所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 20 即 29x 2 5y 2 26z 220yz 4xz 10xy 0 （2）又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或22 yzcos0 1xax 2 y 2 z 2 12 52221)xy15整理得WORD 格式整理 .230x3 3)10联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为1,1, 110,2,56．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。

7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标．解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1则cos设向量 c 的坐标为 x, y,zc x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2所以 x 2y 2z 2 238．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)，(1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积．x1联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或z1则a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos rr 121 rb c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r1 r2 r1) 2)所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1,, 3,3,33)(3) 求 BCD 的面积．(4) 求点 A 到平面 BCD 的距离．解：因为 A 3，0，1 ， B 2, 4,1 ,C 0, 2,3 ,D 2,0, 3 所以 AB 1, 10,0AC 3, 8,2 AD 5, 6, 41) AB,AC,AD 是以它们为邻边的平行六面体的体积0 2 3 100 0 0 120 12 17642)由立体几何中知道，四面体 ABCD (三棱锥 A BCD )的体积1 10 V 3 8 56 1176 6883)因为 BC 2，2，2 ， BD 4，4， 4ij BC BD 2 2 44 k2 16i 16j 0k4V T6所以BC BD 16 2 16 2 16 2 ，这是平行四边形BCED 的面积11因此S B CD S □BCED 16 2 8 222 A BCD 的体积所以H 3V TS BCDV T S BCD HT3BCD8833 11 11 21．求经过点A(3,2,1) 和B( 1,2, 3) 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy平面垂直的平面平行于y 轴，方程为Ax Cz D 0 (1)把点A 3，2，1 和点B 1，2， 3 代入上式得3A C D 0 （2） A 3C D 0（3）DD由（ 2），（3）得 A ,C22 DD代入（ 1）得 x z D 022消去 D 得所求的平面方程为x2z0xyz 2．求到两平面 :3x y 2z 6 0 和 : 1距离相等的点的轨迹方程．2 5 1解；设动点为 M x,y,z ，由点到平面的距离公式得3z y 2z 6 5x 2y 10z 1032 1 2 22 5 2 22 10 214所以 3x y 2z 6 5x 2y 10z 101293．已知原点到平面 的距离为 120, 且 在三个坐标轴上的截距之比为 2:6:5, 求 的 方程．解：设截距的比例系数为 k ，则该平面的截距式方程为x y z12k 6k 5k化成一般式为 15x 5y 6z 30k 0又因点 O 0,0,0 到平面 的距离为 120，则有30k120152 52 62求出 k 4 286所以，所求平面方程为 15x 5y 6z 120 286 05．已知两平面 :mx 7y 6z 24 0与平面 :2x 3my 11z 19 0相互垂直， 求m 的值．解：两平面的法矢分别为 n 1 m, 1, 6 ， n 2 2, 3m,11 ，由 n 1⊥ n 2 ，得2m 21m 66 06．已知四点 A(0,0,0) , B(,2, 5,3), C(0,1, 2) , D(2,0,7), 求三棱锥 D ABC 中 ABC求出 m6619面上的高．解：已知四点 A 0,0,0 ,B 2, 5,3,C 0,1, 2 ,D 2,0,7 ,则DA 2,0, 7 ,DB 0, 5, 4 ,DC 2,1, 9由 DA, DB, DC 为邻边构成的平行六面体的体积为2 07 V DA,DB,DC 0 5 42 1990 0 0 70 0 890 70 828 由立体几何可知，三棱锥 D ABC 的体积为1114VD ABCV 2866 3设 D 到平面 ABC 的高为 H则有 V1H SVD ABC H S ABC3 所以3VD ABC HSABC又 AB 2,5,3 , AC 0,1, 2k3 7i 4j 2k2:4x 2y 7z 14 0 的距离为 7, 求点 A 的坐标．解： A 在 z 轴上，故设 A 的坐标为（ 0 0 z ），由点到平面的距离公式，得7z 14 7422 2 7 2所以 7z 14 69所以，SABC 1AB AC 2 1272 4222 12 69因此，14169 286928 69 697．已知点 A 在 z 轴上且到平面AB AC 2 5 01则 z 2 69那么 A 点的坐标为 A 0,0,2 698．已知点． A 在 z 轴上且到点 B （0, 2,1） 与到平面 :6x 2y 3z 9的距离相等 , 求点 A 的坐标。

解： A 在 z 轴上，故设 A 的坐标为 0,0,z ，由两点的距离公式和点到平面的距离化简得 40z 274z 229 02因为 74 24 40 229 31164 0 方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

1．求经过点 P （1, 2,0） 且与直线x 1 y 1 z 1和 x y z 1 都平行的平面的方1 1 0 1 1 0 程．解：两已知直线的方向矢分别为 v 11，1，0 ， v 21， 1，0 ，平面与直线平行，则平面的法 矢 a A ， B ，C 与直线垂直由a ⊥ v 1，有 A B 0 0（1） 由a ⊥ v 2，有 A B 0 0（2）联立（ 1），（2）求得 A 0,B 0,只有 C 0又因为平面经过点 P 1， 2，0 ，代入平面一般方程得0 1 0 2 C 0 D 0所以 D 0 故所求平面方程 Cz 0 ，即 z 0，也就是 xoy 平面。

x 1 y 3 z2．求通过点 P （1， 0，-2），而与平面 3x-y+2z-1=0 平行且与直线相交的直42 1 线的方程．解：设所求直线的方向矢为 v m ， n ， p ， 直线与平面 3x 2z 1 0平行，则v ⊥ n ，有3m n 2p 0公式得 022 21 z 23z 9 62 2 2 321)直线与直线x 1 y 3 z相交，即共面4 2 1m n p则有 4 2 1 011 30 02所以7m 8n 12 0 (2)由( 1)，( 2) 得m n p即m n p12 23 31 4 50 318 12 12 7 78取m 4，n50 ，p 31，得求作的直线方程为x 1 y z 24 50 31x 3 y 4 z 43．求通过点A(0,0,0) 与直线的平面的方程．211解：设通过点A(0,0,0) 的平面方程为A(x 0) B(y 0) C(z 0) 0即Ax By Cz 0 (1)x 3 y 4 z 4又直线在平面上，则直线的方向矢v 与平面法矢n垂直211所以2A B C 0 (2)直线上的点3, 4,4 也在该平面上，则3A 4B 4C 0 ( 3)由(1)，(2)，(3)得知，将A,B,C 作为未知数，有非零解的充要条件为xyz2 1 1 03 4 4 即8x 5y 11z 0 ，这就是求作的平面方程。

x 2 y z 14．求点P(1, 1,0) 到直线的距离．1 1 0解：点A2,0, 1 在直线上，直线的方向矢v 1, 1,0AP 1, 1,1 ,则AP与v的夹角为AP v 1 1 0cos 0AP v 1212121212所以900因此点P 1, 1,0 到直线的距离为d AP 1 2 1 212 33x y 2z 6 05．取何值时直线与z轴相交 ?x 4y z 15 03x y 2z 6 0解：直线与z 轴相交，则有交点坐标为0，0，z ，x 4y z 15 02z 6 0由直线方程得，求得5z 15 07．求过点( 3,25)且与两平面x 4z 3和3x y z 1 平行直线方程．解：与两平面平行的直线与这两个平面的交则直线的方向矢垂直于这两平所确定的平面，即直线的方向矢为i j kv n1 n21 0 4 4i 13j k3 1 1将已知点代入直线的标准方程得x3 y 2 z54 13 1联立(2),(3),(4)得 BA5D 397 34 C 234代入( 1)式消去 D 并化简得求作的平面方程为5x 2y 2z 39 03．求顶点为 O(0,0,0)，轴与平面 x+y+z=0 垂直，且经过点 (3,2,1) )的圆锥面的方程．解：设轨迹上任一点的坐标为 P x ，y ， z ，依题意，该圆锥面的轴线与平面 x y z 0 垂 直，则轴线的方向矢为 v 1，1，1 ，又点 O 0,0,0 与点 3，2,1 在锥面上过这两点的线的方向矢为 l 1 3,2,1，点 O(0,0,0)与点 P x ，y ，z 的方向矢为 l 2 x,y,z ，则有 l 1与 v的夹角和 l 2与 v的夹角相等，即 x 1 y 1 1 1 3 1 2 1 1 1x 2 y 2z 2 12 1212 32 22 12 121212化简得所求的圆锥面方程为 2 2 211x 2 11y 2 11z 214xy 14yz 02 2 2 4．已知平面 过 z轴, 且与球面 x 2 y 2 z 26x 8y 10z 41 0相交得到一个半径为 2 的圆 , 求该平面的方程． 解：过 z 轴的平面为 Ax By 0球面方程化为 x 3 2 y 4 2 z 5 29表示球心坐标为 O 3,4, 5到截面圆的圆心的距离为 d 32 225,如题三 .4 图所示 由点到平面的距离公式为3A 4B 5A 2B 2化简得 4A 224BA 11B 20 解 关 于 A 的 一 元 二 次 方1)程地7．根据 k 的不同取值 , 说明 (9 k)x 2 (4 k)y 2(1 k)z 2解: 方程 9 k x 2 4 k y 2 1 k z 21 ① k 9时 ,(1) 式不成立 , 不表示任何图形 ;222xyz②4 k 9 时,(1) 式变为 2 2 21,表示双叶双曲线 ;a 2b 2c 22 2 2③1 k 4时,(1) 式变为x 2 y 2 z 21, 表示单叶双曲线 ;A24B 24B 2 4 4 11B 224 1 11 求出 A 11B,A 211B 1 2 22 1 11 分别代入 (1)式得 Bx By 0, Bx By 0 223 消去 B 得所求平面方程为 x 2y 或 x 3y 11 x1 为中心轴的圆柱面的方程．y1 解:如习题三 .5 所示 ,圆柱面在 xoy 平面上投影的圆心坐标为5．求以 z 轴为母线 , 直线 22 1,1 ,半径为 2 ,所以求作的圆柱面方程为 x 1 2 y 1 226．求以 z 轴为母线, 经过点 A(,4,2,2)以及B(6, 3,7)的圆 柱面的方程 22解:设以 z轴为母线的柱面方程为 x a 2y b 2a(1)因为点 A(,4,2,2) ,B(6, 3,7)在柱面上 ,则有4 a 2 2 b 2 R 2(2) 6 a 2 3 b 2 R2(3)22则 a 0 b 0R 2(4)5 ,R 2 2254 64 x 285 2852y4225 641表示的各是什么图形． (1)2 2 2④k 1时,(1) 式变为x 2y 2 z21, 表示椭球面 ; a 2 b 2 c 222⑤ k 1时,(1) 式变为x 2 y 21, 表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面 ;a2 b 222⑥ k 4时,(1) 式变为x 2z 21, 表示双曲柱面 ; a 2 b 222⑦ k 9时,(1) 式变为y 2z 21, 不表示任何图形 ; b 2 c 21．已知 |a| 2, |b| 7, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ．解: |a| 2, |b| 7 , |c| 5, 且a b c 0 则 a 与c 同向， a 、c 均与b 反向 . 所以 a b b c c a 02 7 cos180 0 7 5cos1800 5 2cos0014 35 10 393．已知点 A(0,1,4) , B( 2,3,0)求线段 AB 的中垂面的方程．解：已知点 A(0,1,4), B( 2,3,0) ，设 AB 的中垂面上任一点的坐标为 Mx,y,z ，由两点间 的距离公式得 x 0 2 y 1 2 z 4 2 x 2 2 y 1 2 z 0 2化简得 x y 2z 1 04．已知平面 与三个坐标轴的交点分别为 A,B,C 且 O ABC 的体积为 80, 又 在三个坐 标轴上的截距之比为 4: 5: 3, 求 的方程．解：设 在三个坐标轴上的截距之比为 a:b:c 4: 5 : 3 k ，则平面 与三个坐标 轴的交点为 A 4k,0,0 ,B 0, 5k,0 ,C 0,0,3k所以， k 38,k 2因此， a 4k 8,b 5k 10,c 3k 6V0 ABCOC 14k 5k 3k 80 6平面的方程为x y z18 10 65．已知两平面: 2x my x 11 0与平面:mx y z 1相互垂直 , ,求m的值．解：平面: 2x my z 11 0，n1 2,m, 1平面:mx y z 1 ，n2 m, 1, 1与垂直，则n1 ⊥ n2 ，所以n1 n2 0即2m m 1 01所以m3x 2y z 1 06．取何值时直线与x轴相交 ?x 2y 3z 1 0x 2y z 1 0解：直线与x 轴相交，则交点坐标为x,0,0 ，代入直线方程为x 2y 3z 1 0x 1 0 （ 1）x 1 0 （2）（ 1）+（2）得1 x 0 ，而原点O 0,0,0 不在直线上，故x 0，所以1 0, 1根据企业发展战略的要求，有计划地对人力、资源进行合理配置，通过对企业中员工的招聘、培训、使用、考核、评价、激励、调整等一系列过程，调动员工地积极性，发挥员工地潜能，为企业创造价值，确保企业战略目标的实现。