一、计算题与证明题1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ,0=⨯c b ,0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2.已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅. 解:3cos ||=⋅=⋅θb a b a (1)4sin ||=⋅=⨯θb a b a (2)()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x (3) 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016.已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程. 解:因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等,设动点坐标为()z y x M ,,,则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x 这就就是线段AB 的中垂面的方程。

7.向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标.解:r c b a ===且它们两两所成的角相等,设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ (1) 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ (2) 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x (3)联立(1)、(2)、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,31 8.已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D , (1) 求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积. (2) 求三棱锥BCD A -的体积.(3) 求BCD ∆的面积.(4) 求点A 到平面BCD 的距离.解:因为()103，，A ,()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=AB()2,8,3--=AC ()4,6,5---=AD(1)()AD AC AB ,,就是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V (2)由立体几何中知道,四面体ABCD (三棱锥BCD A -)的体积3881766161=⨯==V V T (3)因为()222，，-=BC ,()444--=，，BDk j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯所以()()216161622=-+-=⨯BD BC ,这就是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ,由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 1.求经过点)1,2,3(A 与)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程. 解:与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴,方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 与点()321--，，B 代入上式得 03=++DC A (2)03=+--D C A (3)由(2),(3)得2D A -=,2DC =代入(1)得022=++-D z Dx D消去D 得所求的平面方程为02=--z x 2.求到两平面0623:=-+-z y x α与1152:=+-+zy x β距离相等的点的轨迹方程.解;设动点为()z y x M ,,,由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x3.已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程.解:设截距的比例系数为k ,则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120,则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以,所求平面方程为028********=±++-z y x5.已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直,求m 的值.解:两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ,()11,3,22m n -=,由1n ⊥2n ,得066212=--m m求出1966-=m 6.已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高.解:已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知,三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯ 所以,692124721222=++==∆S ABC 因此,696928692869213143==⨯=H 7.已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标. 解:A 在z 轴上,故设A 的坐标为(0 0 z),由点到平面的距离公式,得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A8.已知点.A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

解:A 在z 轴上,故设A 的坐标为()z ,0,0,由两点的距离公式与点到平面的距离公式得()()()22222232693120+-+-=-+-+z z化简得022974402=+-z z因为()031164229404742<-=⨯⨯--方程无实数根,所以要满足题设条件的点不存在。

1.求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 与0111+=-=z y x 都平行的平面的方程. 解:两已知直线的方向矢分别为()()01101121，，，，，-==v v ,平面与直线平行,则平面的法矢()C B A a ，，=与直线垂直由a ⊥1v ,有00=++B A (1) 由a ⊥2v ,有00=--B A (2) 联立(1),(2)求得0,0==B A ,只有0≠C又因为平面经过点()021，，-P ,代入平面一般方程得 ()00C 2010=+⨯+-⨯+⨯D所以0=D故所求平面方程0=Cz ,即0=z ,也就就是xoy 平面。

2.求通过点P(1,0,-2),而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341zy x =--=-相交的直线的方程.解:设所求直线的方向矢为()p n m v ，，=, 直线与平面0123=-+z x 平行,则v ⊥n ,有023=+-p n m (1)直线与直线12341zy x =--=-相交,即共面 则有0200311124=+---p n m所以01287=+--n m (2)由(1),(2)得87137123212821---=-=--pn m ,即31504-=-=p n m 取4=m ,50-=n ,31-=p ,得求作的直线方程为3125041-+=-=-z y x 3.求通过点)0,0,0(A 与直线141423-=+=-z y x 的平面的方程. 解:设通过点)0,0,0(A 的平面方程为0)0()0()0(=-+-+-z C y B x A 即 0=++Cz By Ax (1)又直线141423-=+=-z y x 在平面上,则直线的方向矢v 与平面法矢n 垂直 所以 02=++C B A (2)直线上的点()4,4,3-也在该平面上,则0443=+-C B A (3)由(1),(2),(3)得知,将C B A ,,作为未知数,有非零解的充要条件为0443112x =-z y即01158=--z y x ,这就就是求作的平面方程。

4.求点)0,1,1(-P 到直线1112+=-=-z y x 的距离. 解:点()1,0,2-A 在直线上,直线的方向矢()0,1,1-=v()1,1,1--=AP ,则与v 的夹角为()()()011111011cos 22222=-+⋅+-+-++-==θ所以090=θ因此点()0,1,1-P 到直线的距离为()()3111222=+-+-==AP d5.λ取何值时直线⎩⎨⎧=--+=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴相交?解:直线⎩⎨⎧=--+=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴相交,则有交点坐标为()z ，，00, 由直线方程得⎩⎨⎧=--=-015062z z λ,求得5-=λ7.求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 与13=+-z y x 平行直线方程.解:与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行,则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面,即直线的方向矢为k j i kj in n v ---=--=⨯=13411340121 将已知点代入直线的标准方程得1513243-=-=+z y x 8.一平面经过直线(即直线在平面上)l :41235zy x =-=+,且垂直于平面015=+-+z y x ,求该平面的方程.解:设求作的平面为0=+++D Cz By Ax (1) 直线41235zy x =-=+在该平面上,则有点()0,2,5-在平面上,且直线的方向矢()4,1,3=v 与平面的法矢()C B A n ,,=垂直所以025=++-D B A (2) 043=++C B A (3) 又平面与已知平面011=+-+z y x 垂直,则它们的法矢垂直 所以0=-+C B A (4)联立(2),(3),(4)得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==D C D B D A 342347395代入(1)式消去D 并化简得求作的平面方程为039225=+--z y x3.求顶点为)0,0,0(O ,轴与平面x+y+z=0垂直,且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程.解:设轨迹上任一点的坐标为()z y x P ，，,依题意,该圆锥面的轴线与平面0=++z y x 垂直,则轴线的方向矢为()111，，=v ,又点()0,0,0O 与点()1,23，在锥面上过这两点的线的方向矢为()1,2,31=l ,点)0,0,0(O 与点()z y x P ，，的方向矢为()z y x l ,,2=,则有1l 与v的夹角与2l 与v 的夹角相等,即2222222222221111231112131111111++⋅++⨯+⨯+⨯=++⋅++⨯+⨯+⨯z y x y x化简得所求的圆锥面方程为01414111111222=--++yz xy z y x4.已知平面α过z 轴, 且与球面0411086222=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程.解:过z 轴的平面为0=+By Ax (1) 球面方程化为()()()[]9543222=--+-+-z y x表示球心坐标为()5,4,3-'O 到截面圆的圆心的距离为52322=-=d ,如题三、4图所示由点到平面的距离公式为54322=++BA B A化简得01124422=++B BA A 解关于A的一元二次方程地()421144242422⨯⨯⨯-±-=B B B A求出B A B A 211,2121-=-= 分别代入(1)式得0211,021=+-=+-By Bx By Bx消去B 得所求平面方程为y x 2=或y x 113=5.求以轴为母线z , 直线⎩⎨⎧==11y x 为中心轴的圆柱面的方程.解:如习题三、5所示,圆柱面在xoy 平面上投影的圆心坐标为()1,1,半径为2,所以求作的圆柱面方程为()()21122=-+-y x6.求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程解:设以z 轴为母线的柱面方程为()()222a b y a x =-+- (1)因为点)2,2,4(,A ,)7,3,6(-B 在柱面上,则有()()22224R b a =-+- (2) ()()22236R b a =--+- (3)则 ()()22200R b a =-+- (4)联立(2),(3),(4)求出825=a ,45-=b ,642252=R 代入(1)式得所求的柱面方程为642254582522=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 7.根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(222=-+-+-z k y k x k 表示的各就是什么图形. 解:方程()()()1149222=-+-+-z k y k x k (1)①9>k 时,(1)式不成立,不表示任何图形;②94<<k 时,(1)式变为1222222=--c z b y a x ,表示双叶双曲线;③41<<k 时,(1)式变为1222222=-+c z b y a x ,表示单叶双曲线;④1<k 时,(1)式变为1222222=++cz b y a x ,表示椭球面;⑤1=k 时,(1)式变为12222=+by a x ,表示母线平行于z 轴的椭圆柱面;⑥4=k 时,(1)式变为12222=-bz a x ,表示双曲柱面; ⑦9=k 时,(1)式变为12222=--cz b y ,不表示任何图形; 1.已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅.解: 2||=a , 7||=b , 5||=c , 且0=++c b a则反向均与、同向，与b c a c a 、所以0=⋅+⋅+⋅a c c b b a0000cos 25180cos 57180cos 72⨯+⨯+⨯=103514+--=39-=3.已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程.解:已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B ,设AB 的中垂面上任一点的坐标为()z y x M ,,,由两点间的距离公式得()()()()()()222222012410-+-++=-+-+-z y x z y x化简得012=-+-z y x4.已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程.解:设α在三个坐标轴上的截距之比为()()k c b a =--=3:5:4::,则平面α与三个坐标轴的交点为()()()k C k B k A 3,0,0,0,5,0,0,0,4-80354610=⋅⋅⋅==-k k k V ABC 所以,2,83==k k因此,63,105,84-=-=-=-===k c k b k a平面α的方程为16108=-+-+z y x 5.已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值. 解:平面0112:=+-+-z my x α, ()1,,21--=m n平面1:=--z y mx β, ()1,1,2--=m n α与β垂直,则1n ⊥2n ,所以021=⋅n n即012=---m m所以31=m 6.λ取何值时直线⎩⎨⎧=+++=-+-0132012z y x z y x λ与x 轴相交?解:直线⎩⎨⎧=+++=-+-0132012z y x z y x λ与x 轴相交,则交点坐标为()0,0,x ,代入直线方程为 01=-x (1)01=+x λ (2)(1)+(2)得()01=+x λ,而原点()0,0,0O 不在直线上,故0≠x ,所以1,01-==+λλ。