集合的表示及运算浙江省义乌市第四中学（322000）陈金跃一、考情预报1考情分析：集合知识是历年必考的内容之一•其特征有：①题型单一，主要以选择填空题为主，但小题中也蕴涵着丰富的小知识点，如集合的含义与表示，集合间的基本关系，集合的基本运算等；②内容基础，以单纯考查集合知识为主，并且是整卷开篇的一些基础题，与课本的要求、难度相当，但在基础中也考能力，即考查理解能力、转化能力和运算能力等；③渗透广泛，因为集合是整个高中数学知识的基础语言和有力工具，所以它可渗透于高中数学的各个角落，如函数的定义域、值域，方程、不等式的解集，排列、组合等•2高频考点：（1）集合的表示法：列举法，描述法，图示法；（2）集合的基本运算：并集，交集，补集.从近几年浙江省自主命题的高考文科数学试题来看，其规律为：集合的并、交、补运算是考查的核心，当然集合的表示法体现于运算之中，并且用列举法表示集合时考查的集合运算是混合运算（如04, 05, 07年集合试题），用描述法表示集合时考查的集合运算只是一种运算（如06, 08年集合试题）.集合的运算具有其独特的规则，所以转化集合的表示，使之简单化、具体化、直观化是成功运算的关键•二、考点精析1集合表示在集合的表示方法中，列举法具体、描述法本质、图示法直观，所以要根据元素的特征和问题的需要，选择适当的方法表示集合；反之，在识别集合时，首先要确定它是数集还是点集，其次在用描述法表示集合时，要明白代表元素的重要作用•例1有如下四个命题：①方程x2 1 0的解集可以表示为1,1 :②不等式x2 1 0的解集表示为R :③yy x21表示二次函数y x2 1自变量组成的集合；④(0,1) (x, y)y X21 , (0,1) 0,1 .其中正确的个数是()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个解：①是数集，有限集，用列举法表示正确；②是数集，无限集，但用符号表示时不能再用大括号，从而错误；③代表元素是y，所以集合表示函数的值域而不是函数的定义域，从而错误；④是点集，关系正确•故选(B).点评：集合的本质是元素，只有明确集合中的元素是什么、有多少，才能选择适当的方法表示集合；要明白代表元素的重要作用就是要明白集合中的元素是方程的解还是不等式的解，是自变量还是因变量，等等•趁热打铁1:有如下四个命题：①方程x2 1 0的解集可以表示为：②不等式x2 1 0的解集表示为xx 1,或x 1 ;③xy x21表示二次函数y x2 1自变量组成的集合；④(0,1)(x, y) y x21，(0,1) (0,1).其中正确命题的序号是_______ .2子集关系一方面，判断集合与集合之间的包含关系，可以转化为元素与集合之间的从属关系，所以子集关系的本质还是元素问题；另一方面，要特别注意关系符号的意义和区别.例2已知集合A x Z 1 x 2，则下列集合与集合之间的关系正确的是()(A) A (B) 、.2 A (C) 1,0 A (D) [ 1,2) A解：在集合A中1 x 2且x Z，只有-1，0，1这三个元素，二它可用列举法表示为A 1,0,1，从而排除(B)(D);又A符号用错，从而排除(A).故选(C).点评：将各表示方法进行相互转化，使之转化为最简洁的表示，可以认清它们之间的联系与区别，从而更容易揭示集合与集合之间的包含关系•趁热打铁2:已知集合A x Rx 3，贝U下列关系中不正确的是()(A) A (B) 0, ,2 A (C) A R (D) A R3并集运算集合并集运算的规则，宜从自然语言、符号语言及图形语言三个方面来把握•主要抓住“并”概念中的“或”，即符号“ ”就象一个正放的茶杯含有东西装得多的意思,即图形“ A B ”是由集合A、B中的全部元素组成的.例3设集合A xx 2，B xx 3，求A B __________________ .解：A、B两个集合用数轴表示为：-------- -----------------& A 由图可得A B R. 2 5点评：在求两个集合的并集时，并不是简单地罗列两个集合中的元素，根据集合中元素互异性的特征，相同元素在集合中只能出现一次；根据已知集合都是某范围的无限集之特征，利用数轴表示集合进行直观求解，是一种常用而有效的策略•趁热打铁3:已知集合A xx 0，B x 1 x 2，则A B ()(A) xx 1 (B) xx 2 (C) x0 x 2 (D) x 1 x 24交集运算集合交集运算的规则，宜与集合并集运算的规则进行对比来把握•主要也是抓住“交”概念中的“且”，即符号“ ”就象一个倒放的茶杯含有东西装得少的意思，即图形“ A B ”是由集合A、B的公共部分组成的例4设集合A xy ,x 1，B xx2x 0，则A B .解：•••函数x 1的疋义域为x 1，…A xx 1 ;又方程x x 0的解为yX1 0x 1，A B0,1 .故 A B xx 1 0,1 1.点评：在集合运算之前，有时要先对给定的集合进行转化，只有通过转化，才能得以有效地利用；注意体会有限集与无限集，列举法与描述法共存时求交集的策略•趁热打铁4:设集合A x R 1 x 2，B x N0 x 4，则A B ()(A) [0,2] (B) [ 1,4] (C) 0,1,2 (D) 1,01,2,3,45补集运算集合补集运算的规则，还是从自然语言、符号语言及图形语言三个方面来把握.补集是相对于全集U而言的；符号{茁"有三层意思：①A是U的一个子集，即A U :② S*表示一个集合，且9虫匸"：③®*是U中不属于A的所有元素组成的集合.例5已知全集U 小于6的正整数，M xZ1x2，N xZ2x3.⑴计算：m⑵若A U，且旅淞ItU,求所有的集合A.解：已知集合可以转化为U 123,4,5，M 1,2，N 2,3 .⑴v M N 1,2 2,3 1,2,3，二Ccr(MUM = Q}.(2) v 2丘鷹比二2 A，3 A，且A 1,2,3,4,5，故所求的集合A分别是3，1,3，3,4，3,5，1,3,4，1,3,5，3,4,5，1,3,4,5 .点评：对于并、交、补集的混合运算问题，宜从理解各种运算的含义入手，同时运用分步进行运算的策略；还要特别注意各种符号的意义与区别，以及逆向运算问题.趁热打铁5:设全集U 1,3,5,6,8，A 1,6，B 5,6,8，则」-I -=( )(A) 6 (B) 5,8 (C) 6,8 (D) 3,5,6,86集合思想的应用应用并集、交集思想是：若把某问题分解成若干个小问题，它们之间是“或”(“且”) 的关系时，则可以先求出各小问题的解集，再取并集(交集)求得原问题的解集.应用补集思想是：当正面思考较繁或难以下手时，不妨先求其反面问题的解集，再利用其补集求得原问题的解集.例6已知函数f (x) 解：当x [0,)时, 2x 1 x2 ,x 1,xx1 1 y x 120，求该函数的定义域和值域.1[1,)；当x ( ,0)时，y —(0,).故函数f(x)的定义域是取其并集为［0, ) ( ,0) R ,值域是取其并集为 [1, ) (0, )[ 1,).点评：分段函数只是一个函数，但又总是分段求解，而分段函数的定义域和值域是 各段相应范围之间的“或”的关系，则最后结论取其并集二、考能训练其中正确的个数有()2. 已知集合M x则P Q 含有 ______ 个元素.趁热打铁6:函数f (x)x 2 1 x 1 ,x ,xx 11的定义域是1,值域是1.设集合A 0,3，有下列关系式:A ; 0,3 A ; 0,3 A .(A) 1 个(B) 2个(C) 3(D) 4(A) R (B) x 2 (C)xx (D) xx 3 3.设全集U R ， x N1x 2 2x示的集合为()(A) 1(B)(C)1, 3(D)1,34.已知集合M 0,xN 2,4，若 M N (A) 0,x,2,4 (B)042,4(C) 0,2,4(D) 不能确定5.已知全集U0,1,2,3的真子集的个数是( (A)3 个 (B)4 个 (C)7 个 (D)8 个 6.已知集合M x 3，则集合xx 1((A) M N (B) M N<c?®「(MU ⑵7.已知集合P 中含有5个元素, 集合Q 中含有8个元素，若P Q 含有3个元素,8. 设集合 A (x, y) x y 3，B (x,y)x 2y 0，则 A B)39. 已知集合P Xax 1 0，且2 P , 1 P，求实数a的取值范围.1~4 -10. 设全集U R, A xN2x5 , B x Ry ，求:<x 2⑴ A B ; (2) A B ;⑶C{ ZjriS ；⑷的.趁热打铁答案：1. ②③④2.D3.A4.C5.B6. R，(0,)答案提示：1. ①方程x2 1 0的解集是空集，但空集用符号表示时不能再加大括号，所以错误；②③④都正确•2. 由是任何集合的子集，得A正确；由0 A,.2 A，得0「2 A正确；由x 3，得A R正确；由4 R但4 A，得A R错误.3. 把集合A,B用数轴表示出来，即得A B xx 1 .4. 把集合A,B 分别转化为A ［ 1,2］，B 0,1,234，则A B 0,1,2 .5. 先求得弋询再求得(1眄｛碉・6.当x 1时，y x2 1 [1,)；当x 1时，y1(0,).故函数f (x)的疋x 1义域为[1, ) (,1)R，值域为［1,)(0,)(0,).考能训练答案：1.D2.A3.B4.C5.C6.D7. 108.1 (2,1) 9. (—,1]210.(1) 3,4 ；(2)x2 x 4 ;(3)x2 x 4,且x 3 ；(4) xx R，且x 3, x 4答案提示：1. 由1不是集合A中的元素，得1 A错误；其它都正确2. 把集合M,N用数轴表示出来，即得M N R.3. 把集合A,B转化为A 1,2,3,4,5，B 1,3，所以阴影部分为A B 34. 由M N 4，得4 M，从而x 4，即集合M 0,4，故M N 0,2,4 .5. 由条件得爲虫=013),其真子集为,0,1,3,0,1,0,3,1,3，共7个.6. 先求得M N xx 1,再求得「(MU眄,朮列.7. 由P Q含有3个元素，即有3个元素是集合P与Q的公共元素，故P Q中的元素个数为5 8 3 10.8.求A B就是求方程组x y 3的解集，解方程组得x2，故A B(2,1 )x 2y 0y19.由2P，1 P，得2a 1 0 1，解得-a 1，即实数a的取值范围为G ,1].a 1 02210.把已知集合转化为U R，A3,4 ，B x2 x 4 .(1) A B 3,4 x2 x 4 3,4⑵A B 3,4 x2 x 4 x2x 4 ；(3) 『皿=｛审丘总且"縈芒4|j仏却=轴2 “ E且z# 3)；(4) 1昇=心£2,或K>4), (Ctr4)IJcCu^)= (xx e & 且"気曲4).。