§集合的概念与运算【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⊂B(或B⊃A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅⊂B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算4.并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A≠∅两种可能的情况． 3． 正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.题型一 集合的基本概念例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 ( B ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如：(2)设a ，b∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝___2_.思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．(2)因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a≠0， 所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性． 若集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝ 0或98_.解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝98.故a ＝0或98.题型二 集合间的基本关系例2 已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B≠∅，要分两种情况讨论． 解：①当B ＝∅时，有m ＋1≥2m－1，则m≤2. ②当B≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m≤4.综上，m 的取值范围为m≤4.变式：（1）集合A 与B 中的等号问题，（四种情况：两开两闭，一开一闭） （2）集合A 与B 的关系。

例如：,,A B A B A B ⊂⋂=∅⋂≠∅等探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝_4___. 解析 由log 2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}， 而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，如图所示，则a>4，即c ＝4. 变式：集合A 与B 的关系。

题型三 集合的基本运算例3 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m 的值是_1或2__．思维启迪：本题中的集合A ，B 均是一元二次方程的解集，其中集合B 中的一元二次方程含有不确定的参数m ，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝∅对集合A ，B 的关系进行转化． 解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m＝1或2.探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn 图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A ⇔B ⊆A ，(∁U A)∩B＝∅⇔B ⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}． (1)当a ＝－4时，求A∩B 和A∪B； (2)若(∁R A)∩B＝B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵A＝{x|12≤x≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|12≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．(2)∁R A ＝{x|x<12或x>3}，当(∁R A)∩B＝B 时，B ⊆∁R A ，即A∩B＝∅. ①当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a<0.综上可得，实数a 的取值范围是a≥－14.题型四 集合中的新定义问题例4 设符号@是数集A 中的一种运算：如果对于任意的x ，y∈A，都有x@y ＝xy∈A，则称运算@对集合A 是封闭的．设A ＝{x|x ＝m ＋2n ，m 、n∈Z }，判断A 对通常的实数的乘法运算是否封闭？解 设x ＝m 1＋2n 1，y ＝m 2＋2n 2，那么xy ＝(m 1＋2n 1)×(m 2＋2n 2)＝(m 1n 2＋m 2n 1)2＋m 1m 2＋2n 1n 2. 令m ＝m 1m 2＋2n 1n 2，n ＝m 1n 2＋m 2n 1，则xy ＝m ＋2n ， 由于m 1，n 1，m 2，n 2∈R ，所以m ，n∈R . 故A 对通常的实数的乘法运算是封闭的．探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有___6_____个．解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．集合中元素特征认识不明致误典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y)|x∈A，y∈A，x －y∈A}，则B 中所含元素的个数为 ( D )A ．3B ．6C ．8D ．10易错分析 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B 是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B 中的元素(x ，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B 的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x －y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．解析 ∵B＝{(x ，y)|x∈A，y∈A，x －y∈A}，A ＝{1,2,3,4,5}， ∴x＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B 中所含元素的个数为10. 答案 D温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x 、y 、(x ，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y ＝f(x)}表示函数y ＝f(x)的定义域，{y|y ＝f(x)}表示函数y ＝f(x)的值域，{(x ，y)|y ＝f(x)}表示函数y ＝f(x)图象上的点．遗忘空集致误典例：(4分)若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 解析 (1)P ＝{－3,2}．①当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；②当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12. 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1． 集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2． 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3． 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范1． 空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2． 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3． 解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4． Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5． 要注意A ⊆B 、A∩B＝A 、A∪B＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于 ( C )A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，∴∁U M ＝{3,5,6}．2． (2011·课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M∩N，则P 的子集共有( B ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N 的子集共有22＝4个．3． (2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A)∪B 为 ( C ) A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}解析 ∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}．4． 已知集合M ＝{x|x x －1≥0，x∈R }，N ＝{y|y ＝3x 2＋1，x∈R }，则M∩N 等于 ( C )A ．∅B ．{x|x≥1}C ．{x|x>1}D ．{x|x≥1或x<0}解析 由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠1，x x －1≥0，∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N ＝{y|y≥1}， M∩N＝{x|x>1}．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知集合A ＝{1,3，a}，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝_－1或2__.解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.6． 已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y∈Z }，则A∩B＝_{(0,1)，(－1,2)}_.解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 7．(2012·天津)已知集合A ＝{x∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x∈R |(x －m)(x －2)<0}，且A∩B＝ (－1，n)，则m ＝_－1__，n ＝_1__.解析 A ＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}， B ＝{x|(x －m)(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x∈R ，m∈R }． (1)若A∩B＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解 由已知得A ＝{x|－1≤x≤3}， B ＝{x|m －2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3. ∴m＝2.(2)∁R B ＝{x|x<m －2或x>m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m－2>3或m ＋2<－1，即m>5或m<－3.9．(13分)已知集合A ＝{y|y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a(a 2＋1)>0}，B ＝{y|y ＝12x 2－x ＋52，0≤x≤3}．(1)若A∩B＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B. 解 A ＝{y|y<a 或y>a 2＋1}，B ＝{y|2≤y≤4}．(1)当A∩B＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a≤2，∴3≤a≤2或a≤－ 3.(2)由x 2＋1≥ax，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a≤2.∴a 的最小值为－2. 当a ＝－2时，A ＝{y|y<－2或y>5}．∴∁R A ＝{y|－2≤y≤5}，∴(∁R A)∩B＝{y|2≤y≤4}． B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖北)已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x∈R }，B ＝{x|0<x<5，x∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2． (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S∩B≠∅的集合S 的个数是 ( B )A ．57B ．56C ．49D ．8解析 由S ⊆A 知S 是A 的子集，又∵A＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ⊆A 的S 共有26＝64(种)可能．又∵S∩B≠∅，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ⊆A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56.3． (2011·湖北)已知U ＝{y|y ＝log 2x ，x>1}，P ＝{y|y ＝1x ，x>2}，则∁U P 等于( A )C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 ∵U＝{y|y ＝log 2x ，x>1}＝{y|y>0}， P ＝{y|y ＝1x ，x>2}＝{y|0<y<12}，∴∁U P ＝{y|y≥12}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·陕西改编)集合M ＝{x|lg x>0}，N ＝{x|x 2≤4}，则M∩N＝(1,2]___.解析 M ＝{x|lg x>0}＝{x|x>1}， N ＝{x|x 2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴M∩N＝{x|x>1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|1<x≤2}．5． 已知M ＝{(x ，y)|y －3x －2＝a ＋1}，N ＝{(x ，y)|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M∩N＝∅，则a 的值为 1，－1，52，－4．解析 集合M 表示挖去点(2,3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M∩N＝∅知，点(2,3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，52，－4.6． 设A ＝{x||x|≤3}，B ＝{y|y ＝－x 2＋t}，若A∩B＝∅，则实数t 的取值范围是 (－∞，－3)_____． 解析 A ＝{x|－3≤x≤3}，B ＝{y|y≤t}，由A∩B＝∅知，t<－3.。