数学命题预测试卷（二）
（理工类）
（考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{}0,a M =，{
}2,1=N ，且{}1=N M I ，那么N M Y 等于（ ） A ．{}2,1,0,a B ．{
}2,1,0,1 C ．{}2,1,0 D ．不能确定 2．已知c b a c b a 23,32=-=+，a 与b 的关系是（ ）
A ．b a =
B ．b a 2=
C ．b a -=
D ．b a 2-=
3．已知︒=︒=35,10βα，那么)tan 1)(tan 1(βα++的值等于（ ）
A ．3
B ．2
C ．21+
D ．31+
4．函数x x y 44sin 2cos 2-=的最小正周期是（ ）
A ．π
B ．π2
C ．
2π D ．π4 5．函数x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=221的定义域为（ ）
A ．R x ∈
B ．2,≠∈x R x 且
C ．0,≠∈x R x 且
D ．20<<x
6．以方程0622=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程为（ ）
A ．0262=-+x x
B ．01862=--x x
C ．032
32=--x x D ．019182=++x x 7．顶点在点A （2，－1），准线为x 轴的抛物线方程是（ ）
A ．)1(2)2(2+=-y x
B ．)1(4)2(2+-=-y x
C ．)1(2)2(2-=+y x
D ．)1(4)2(2-=+y x
8．设0<m ，那么实数m 的三角形式是（ ）
A ．)0sin 0(cos i m +
B ．)sin (cos ππi m +
C ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-23cos 23sin ππi m D ．)sin (cos ππi m +- 9．“0,0=≠=B C A ”是“二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示
圆”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既非充分又非必要条件
10．已知)0(1)1(2>++=x x x x
f ，则)(x f =（ ） A ．x x 112+- B ．x
x 112-+ C ．x x 112-- D ．x
x 112++ 11．设定义域在R 上的函数x x x f =)(，则)(x f 是（ ）
A ．奇函数，增函数
B ．偶函数，增函数
C ．奇函数，减函数
D ．偶函数，减函数
12．6)22(x
x + 的展开式中常数项是（ ） A ．30 B ．20 C ．15 D ．10
13．若直线b ax y +=过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧+=+=θ
θsin cos r b y r a x （θ为参数）的
圆心在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
14．)2
1arccos(-的值为（ ） A ．6π- B ．3π- C ．3π D ．3
2π 15．由1，2，3，4组成的无重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数
列{}n a ，则18a 等于（ ）
A ．1243
B ．3421
C ．4123
D ．3412
二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上）
16．已知m
m x x +-=+33cos 3sin ，那么m 的取值范围是 ． 17．函数16123+-=x x y 在[]3,3-上的最小值是 ．
18．已知圆的方程为088222=+-++y x y x ，过)0,2(P 作该圆的一条切线，切
线的长为 ．
19．五人站成一排，其中某人恰好站在中间的概率是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共59分。

解答应写出推理、演算步骤）
20．（本小题满分11分）
已知)10( 1cot <<-=a a a θ，求θ
θθθcos sin cos sin 22++-a a 的值．
21．（本小题满分12分）
首项为25的等差数列，其前9项的和等于前17项的和，问这个数列前多少
项的和最大？
22．（本小题满分12分）
已知函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2222
2log )1(x x x f ． （1）求)(x f 的解析式及)(x f 的定义域．
（2）判定)(x f 的单调性．
23．（本小题满分12分）
如右图所示，在正三棱柱C B A ABC '''-中，B B B A '='3．
（1）求证：C B B A '⊥' ；
（2）求二面角C C B A -'-的大小．
24．（本小题满分12分） 设P ，Q 是抛物线x y =2上满足OQ OP ⊥的任意两点，其中O 为坐标原点，
P ，Q 都不是抛物线的顶点．
（1）求证：PQ 所在直线与x 轴交于定点．
（2）求OPQ ∆面积的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D
9．B 10．D 11．A 12．A 13．B 14．D 15．B
二、填空题
16．1-≥m 或9-≤m 17．0 18．4 19．5
1 三、解答题
20．解 )cos cos (cos sin cos sin cos sin 22222θθθ
θθθθθ-++-=++-a a a a a
θ
θθθ22222cos )cos (sin sin 2-+=a a θ
θθ22222cos )1(sin sin 2-+=a a a θ
222cot )1(2-+=a a a 2
1)1(222-=-⋅-+=
a
a a a a 21．解 设此数列公差为d ，由已知得
d d S 362252
)19(92599+=-⋅+
⋅= d d S 1364252)117(17251717+=-⋅+⋅= Θ 179S S =
故 d d 136********+=+ 得2-=d
∴ 169)13()2()1(2
1252+--=-⋅-+⨯=n n n n S n 故当13=n 时，n S 有最大值169，即这三个数数前13项和最大．
22．解 （1）Θ )1(1)1(1log 2log )1(2222222
x x x x x f ---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- ∴ x
x x f -+=11log )(2 要使)(x f 有意义，必须
011>-+x x 即0)1)(1(<-+x x 11<<-x
故)(x f 的定义域为)1,1(-∈x ．
（2）设1121<<<-x x ，则 2221122111log 11log )()(x x x x x f x f -+--+=- )
1)(1()1)(1(log 21212x x x x +--+=
由于1121<<<-x x ∴ 0)1)(1(21>-+x x ，0)1)(1(21>+-x x 而0)(2)1)(1()1)(1(212121<-=+---+x x x x x x 故1)1)(1()1)(1(02121<+--+<x x x x ，0)1)(1()1)(1(log 21212<+--+x x x x 故)()(21x f x f <
故)(x f 为增函数．
23．解（1）取BC 中点D ，连AD ，连D B '，C B '交于O 设1='B B ，则3='B A ，22,2===BD BC AB ∴ 2tan ,2tan ='∠=''∠DB B C B B ∴ DB B C B B '∠=''∠ ∴ DB B ～BO B '∆'∆ ∴ ︒='∠90OB B ，即D B C B '⊥' 又 易证AD C B ⊥' ∴ C B B A '⊥'
（2）Θ D B C B AD C B '⊥'⊥', ∴ AOD ∠为二面角C C B A -'-的平面角 Θ 2
6='D B ∴ 66=
DO ∴ 36
6
2
2
3tan =⋅=∠AOD ∴ 3arctan =∠AOD
24．解（1）设OP 的方程：)0(>=k kx y ，则OQ 的方程：x k
y 1-=
联立方程组⎩⎨⎧==x
y kx y 2，得交点)1,1(2k k P 联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=-=x y x k y 21，得交点),(2k k Q -
故PQ 所在直线方程为)(11
222k x k k k k k y ---
-=+ 令0=y ，得1=x
又1=k 时，PQ 的方程为1=x
从而PQ 所在直线过一定点R （1，0）．
（2）)( 2
1Q P QOR POR POQ y y OR S S S -=
+=∆∆∆ 1)1(21)1(121≥+=+⋅⋅=k k k k 故1=k 时，POQ ∆的面积最小值为1．。