都有唯一确定的值与之对应。
案例4 函数的概念
师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初 中所学的函数概念呢？ 生：如果在某个变化的过程中有两个变量 x 和 y，对
于某个实数集合 D 内的每一个确定的 x， y 都有唯一
确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数，x 叫做自 变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和 x 对应的 y 的值叫做函数值。 师：非常好！这正是德国数学家狄利克雷于1837年提
经历从字母表示未知数到字母
表示任意数的自然过程
探究之乐 积累数学活动经验
文化之魅
字母表示数的历史 德育之效
数学思想发展的曲折与艰辛
案例2 案例 反比例函数 2 反比例函数
引入 《太上感应篇》“入重 出轻”的故事。
案例2 反比例函数
新课探究 a和n不变, b和m之间的正比例关系
数据 第1次 第2次 第3次 a(cm) 8 8 8 n(g) 100 100 100
…………………………
案例4 函数的概念
师 ：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重 新审视函数 y = 0 ( x R ) ，无论 怎样变化， 的值都是
以不变应万变，此处的关键词“应”即为“对应”之
意，也就是对每一个 的值，都有 的值0与之对应。我 们能否从这样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢？ 生：男子100米栏世界纪录表中，对于每一个出现的年 份，都能找到一个世界纪录与之对应；而在沪深指数
案例1 用字母表示数
问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个 正方形呢？
4
4+13
4+23
4+33
生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3
案例1 用字母表示数
学
知识之谐
生
教
师
内容与课程知识（KCC） 字母表示数的历史 内容与学生知识（KCS） 从字母表示未知数到字母表 示任意数的困难 内容与教学知识（KCT） 借鉴代数学的历史来设计教 学
案例4 函数的概念
案例5 案例 对数的概念 5 对数的概念
计算：
1 16 256
2 256 4096
3 4096 32768
案例5 对数的概念 x 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024
A
m
a
O
b
ห้องสมุดไป่ตู้
B
非零常数，b与n成反比例。
n
案例2 反比例函数
概念形成
定义：设b = y，n = x，则y = k/x。形如y =k/x（k为常数，且k
0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k 是比例系数。
辨析：
（1）对“形如”怎样理解？
（2）怎样理解“k为常数，且k 0”？ （3）反比例函数与前面所学的什么知识有联系？
案例4 函数的概念
例2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。
课前的问卷调查表明： 161 人中有
65 人认为它不是函数关系，占比
40.37%。理由是： y 不随 x 的变化而变化； 没有 y 与 x 的关系式； x 与 y 之间没有关系；
否 40%
是 60%
y没有依赖 x 的变化而改变，
能不能再简练一点呢？
S：53。 S：5.3。 S：5/3。
案例 3 直角坐标系
T：还有其他表示方法吗？ [有两组学生开始用量角器与直尺]
S7：北偏东50。
T：…… T：我们将5垂直于3表示为（3, 5）。
案例 3 直角坐标系
学
知识之谐
生
教
师
内容与课程知识（KCC） 直角坐标系的历史 内容与学生知识（KCS） 从一维到二维的困境 内容与教学知识（KCT） 借鉴坐标概念的历史来设计 教学 水平内容知识（HCK） 直角坐标系与数轴的联系
问题3：苍蝇向上爬5cm，
如何表示它的位置？ 问题4：苍蝇向右爬3cm， 再向上5cm，如何表示它的 位置？
案例 3 直角坐标系
问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？
S：用+3表示。 T：那如果苍蝇向上爬了6cm， 7cm，又如何表示它的位置
呢？
S：还是+3。 T：可是，苍蝇的位置明明 不同啊？
背 景
为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？
数学史料 • 人物事件 • 概念术语 • 数学问题 • 公式定理
选材原则
• 趣味性 • 可学性
运用方式
• 附加式 • 复制式
效果评价
• 知识之谐 • 方法之美
• 科学性
• 有效性 • 新颖性
• 顺应式
• 重构式
• 探究之乐
• 能力之助 • 文化之魅 • 德育之效
a
b(cm) 4 12 16
m(g) 50 150 200
A
m
O
b
B
n
案例2 反比例函数
a和m不变, b和n之间的反比例关系
数据 第1次 第2次 第3次 a(cm) 8 8 8 m(g) 100 100 100 b(cm) 16 8 4 n(g) 50 100 200
总结：当n增加时，b却减少， b随 n的增加而减小。且满足bn = am =
总之有自变量、因 变量且一个 x 有且 仅有一个 y 的值与 其对应的式子
案例4 函数的概念
欧拉的函数定义(1748)：
一个变量的函数是由该变量 和一些数或常量以任何方式 组成的解析式。 ——《无穷分析引论》 L. Euler (1707 – 1783)
案例4 函数的概念
德摩根《代数学》的定义(1837)： Any expression which contains x in any way is called a function of x.
出的函数定义。
案例4 函数的概念
狄利克雷的现代定义（1837）： 设 a、b 是两个确定的值，x 是可取 a 、 b 之间一切值的 变量。如果对于每一个 x ， 有唯一有限的 y 值与它对应,
当x连续变化时，y 也随之变
化那么 y 叫做 x 的函数。 L. Dirichlet（1805-1859）
2x
x
11
12
13
8192 20
14
16384 21 2097152
图像中，每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对
应。
案例4 函数的概念
师 ：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数 y=2x2 呢？ 生：对每一个x的值，都有y的值与之对应。
师：我们还发现，对于变量x 的每一个值，y都有唯一
的值与之对应，说明我们同样可以从对应的角度来理 解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析，同学们 能否提炼并概括一下这些关系的共同特征？ 生：以上函数关系中，对变量 x 的每一个值，变量 y
A. de Morgan (1806-1871)
案例4 函数的概念
李善兰的译文：“凡式中含天，
为天之函数。”这便是中文
“函数”名称的由来。
案例4 函数的概念
概念生成
从“解析式”到“变量依赖关系”
例1(课本)：表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世界纪录
创立的时间和成就，请思考：
（1）统计表中有哪几个变量？是什么？ （ 2）当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出
经历坐标概念的自然发生过程
探究之乐
体验成功的快乐、积累数学活 动经验
文化之魅
数学与现实生活之间的联系 德育之效
兴趣、自信心、亲近数学
4 函数的概念 案例4 案例 函数的概念
函数概念的历史
案例4 函数的概念
引入 师 ：关于函数概念，同学们并不陌生。现在，请大家回
忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？
间的关系能否用一个解析式来刻画呢？
案例4 函数的概念
欧拉的新定义（1755）： 如果某个量依赖于另一个量， 当后面这个量变化时，前面这
个量也随之变化，则前面这个
量称为后面这个量的函数。 ——《微分学基础》 L. Euler (1707 – 1783)
案例4 函数的概念
从“变量依赖关系”到“变量对应关系” 师 ：初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等， 在这些函数中，变量 y 与 x 之间就有明确的依赖关系。 但是，利用“依赖关系”来刻画函数，是否尽善尽美 了呢？ 例2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。
数学史融入中学数学教学的实践与案例
汪晓勤 华东师范大学教师教育学院
杭州 2017-04-27
数学史融入中学数学教学的实践与案例
背景
概念与思想
公式与定理
问题与求解
结语
背 景
• 如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何 实施数学学科德育，日益受到人们的关注。 • 国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、
情感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学
情感。 • 数学史与数学教育之间的关系（ HPM）是今日数学教育 领域的热门课题。 • 数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来 越多的中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。 • 如何设计、实施、评价HPM课例？HPM视角下的数学教 学实践是否可以促进教师的专业发展？
案例4 函数的概念
师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系可以用 一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现，我们把 它统称为 “ 对应法则 ” 。例如表 1 中， 14.2 与 1936 对应，
1973有唯一的13.1与之对应，这个表格就是一个对应