借不到钱
y2
y1
c1
c y1 y2 /(1 rc ) 1
Slide 10
Ch 1.3 消费者选择问题
消费者问题
MaxxX u(x)
s.t : p x y
Slide 11
Ch 1.3.1 解的性质：存在性
A 1.10 : 如果定义域 D是一个紧集，那么
连续实值函数则存在最大值。
· 满足假设1.2u(x)是 B上的连续函数
——马歇尔需求函数
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Ch 1.3.2 解的充要条件 偏好具有良好性质，u(x) 可导
MaxxX u(x)
s.t : p x y
L(x,) u(x) ( y p x)
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Ch 1.3.2 解的充要条件
必要条件：Kuhn-Tucker条件
I、
x1 x2
x1
Slide 15
Ch 1.3.1 解的性质：瓦尔拉斯法则 瓦尔拉斯法则
偏好的递增性
p x* y
Slide 16
Ch 1.3.1 解的性质
偏好的理性、连续性 存在性 偏好的严格凸性 唯一性 偏好的递增性 瓦尔拉斯法则
x(p, y) : Bp,y R
· ：严格凸 u(x)是严格拟凹函数
u(xt ) min[u(x1), u(x2 )]
——与假设矛盾假设不成立解是唯一的
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Ch 1.3.1 解的性质：唯一性 非凸偏好
x2
x1
x2
x1
Slide 14
Ch 1.3.1 解的性质：唯一性
非严格凸偏好
x2
xt tx1 (1 t)x2 t [0,1]
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Ch 1.3.2 解的充要条件
假设 x* 不是消费者的效用最大化选择
,
u(x0) u(x*)
s.t. p x0 y
u(x) 连续性 t [0,1]，使得
u(tx0 ) u(x*) s.t. p tx0 y
令x1 tx0
u(x*)(x1 x*) ＝* p (x1-x*) * (y - y)=0
可行集
预算 y
行动规则
制度、政府规制等
交易规则：完全竞争性市场 p 0
预算集：
Bp,y

{x

R
n +
px
y}
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Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
X {x=(c1,c2) c1 0,c2 0}
收入：y ( y1, y2 )
利率： r
预算约束： (1 r)c1 c2 (1 r) y1 y2

0
y p x*=0
i 1, 2,..., n
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Ch 1.3.2 解的充要条件 证明
u(x) 拟凹
u(x)(x1 x0 ) 0 如果 u(x1) u(x0 )
设u(x*)存在，（x*, *）是(1.10)的解
有： u(x*) *p
p x* =y
xi*
(
u(x* xi
)


*
pi
)

0

u(x* ) xi
* pi

0
i 1, 2,..., n （1）
Slide 20
Ch 1.3.2 解的充要条件 内点解必要条件 x* 0
偏好的严格单调性 u(x*) 0（几乎处处成立）
xi
* u(x*) / xi 0 i 1, 2,..., n
0 B B 非空
p 0 B 是有界、闭集
B 是紧集
存在最大值
Slide 12
Ch 1.3.1 解的性质：唯一性
如果偏好关系满足严格凸性，可行集B是凸集， 那么最优解唯一
证明：
假设x1，x2都是最优选择,有u(x1) u(x2 )
B是凸集 xt tx1 (1 t)x2 B
Ch 1.3 消费者问题
Slide 2
Ch 1.3 消费者选择问题
最优解的性质 最优解的充分必要条件
Slide 3
Ch 1.3 消费者选择问题
分析框架
偏好关系：·
消费集：X

R
n
可行集：B X
最优化选择：
x* B 使得 x B 都有x* · x
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pi
y p x* =0 （2）
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Ch 1.3.2 解的充要条件
定理1.4：内点解必要条件的充分性
如果效用函数连续拟凹，在 x*可导，
而且 (p,y) 0，x* 0。那么满足以下必
要条件的解一定是消费者的效用最大
化解。
(1.10)
u(x* ) xi
* pi
L xi

u(x* ) xi
* pi

0
xi*
(
u(x* xi
)

*
pi
)

0
II、 y p x* 0
*(y p x*) 0
III、xi 0, 0
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Ch 1.3.2 解的充要条件
内点解必要条件
如果： x* 0 xi* 0, i 1, 2,..., n
Ch 1.3 消费者选择问题
假设1.2
消费者偏好具有完备性、可传递 性、连续性和严格单调性。
形式理性
可以由一连续、严格递增的拟凹 实值函数 u(x)表示。
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Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
c2
u(c1, c2 ) c1 c12
c1
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Ch 1.3 消费者选择问题
p1 1 r
（未来值形式）
p2 1
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Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
c2
(1 r) y1 y2
c2 (1 r) y1 y2 (1 r)c1
y2
c1
y1
y1 y2 /(1 r)
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Ch 1.3 消费者选择问题
融资约束
c2
c2 存款利率rs <贷款利率rc
——与u(x)拟凹性矛盾
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Ch 1.3.2 解的充要条件
定理1.3：需求函数的可微性
设 x* 0 在 (p0 ,y0 ) 0下消费者的最优 选择。如果有

u(x)
是
R
n
上的二次连续可微函数
u(x) / xi 0 i 1, 2,..., n
u(x) 在 x* 点上的加边海塞矩阵的秩不
等于0。
那么 x* (p0 , y0 ) 在 (p0 ,y0 ) 可微。