转化常量与变量的角色漳浦一中 杨跃民 363200我们知道,常量即固定不变的已知量,变量即变化着的未知量.但变量与常量的地位是相对的,灵活、正确处理变量与常量角色的相对关系对问题的解决有着天壤之别，极具神奇的艺术魅力.在数学问题的解决中，常常会碰到常量与变量关系处理的现象.改变审视的角度,灵活变换它们的角色，有时将常量看成变量,而将变量当作常量,将能起到出奇制胜的作用.正确处理常量与变量的角色转化是一种重要的数学思想方法和解题策略，是一门具有高层品味的科学艺术，在数学问题的解决中占有重要的地位，教学中我们绝不可低估它的作用.它是一种有动态、带逆向思维特性和综合艺术品性的解决问题的上策或良策.尤其是随着新课程的实施及高考模式的改革，高考的数学试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用，它着眼于知识点新颖巧妙的有机组合，试题新而不偏奇，活而不过难；着眼于合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查；着眼于对数学思想方法、数学能力与素质的考查.因此，数学问题解决的教学中要注意自觉克服绝对化的僵化思维，充分挖掘数学问题中潜在的有机结合而形成的特殊性和简单性，尽力打破常规，克服思维定势，灵活处理数学问题中的常量与变量角色的相对性.引导培植学生综合全面的优秀思维品质和良性的分析问题和解决问题的能力，构建学生科学探究、自主学习的能力的框架体系.一、巧理对称关系式问题中量间角色的平等性对称关系式中，量间的地位是平等的，处理时有一定的困难，但当把式中量间角色的平等性加以剥离, 有的量成为常量，有的量成为变量，使它们成为不平等，处理时常常能起到奇妙的效果.例1：设a>0,x 、y 、z ∈R,x+y+z=a,222z y x ++=2a ,求x 、y 、z 的取值范围. 分析 该问题中x 、y 、z 均为变量,地位均等,条件中的两式都是轮换对称式,相结合消去z 得到()222y x a y x --++=2a ,将此式中的变量x 当作常量看待,整理成关于变量y 的一元二次方程得2y +(x-a)y+(2x -ax)=0,因为该方程有实根∴△=()2a x --4(2x -ax)≥0⇒32x -2ax-2a ≤0将x 看成变量,则此式是关于x 的一元二次不等式,解得-3a≤x ≤a同理可得-3a ≤y ≤a, -3a≤z ≤a. 例2：在ΔABC 中,求证:cosA+cosB+cosC ≤23.分析 该问题中A 、B 、C 都是变量,地位均等, 该求证式是轮换对称式. ∵在ΔABC 中, A+B+C=π，∴当令y=cosA+cosB+cosC 时， 可得y=2cos 2B A +cos 2-B A +1-2sin 22C= -2sin 22C +cos 2-B A sin 2C +1 ∴2sin22C - 2cos 2-B A sin 2C +y-1=0 ① 将①式的sin 2C 看成变量, y 、cos 2-B A 看成常量, 则①式即为关于sin 2C 的二次方程. ∵sin2C为实数, ∴①有实数根 ∴Δ=(2 cos2-B A )2-8(y-1)≥0 ∴y ≤1+21cos 22-BA ≤1+21=23当且仅当A=B=C=3π等号成立.故 cosA+cosB+cosC ≤23.这里我们把sin 2C看作变量其余的看成常量,使问题转化为一元二次方程有解问题加以解决.二、巧换方程问题中常量与变量的角色着装某些带有参数的方程问题，循着问题中对常量与变量的设定去处理，有时是很复杂，甚至是无法解决问题的.方程问题中的常量（参数或具体数值）与变量的地位并非是一成不变的，它们是具有相对性的，若能打破常规，对问题中常量与变量的角色着装加以巧妙置换，常常会发现问题的处理变得豁然开朗起来，其过程也是极其简单.例3：已知关于x 的方程m 2x -2(m-3)x+m-2=0中的m 为负整数，试求使方程的解至少有一个为整数时的m 值.分析 这里x 是变量，m 为常量,按常规求出x=()mmm 493-±-，再对m 分类讨论，但十分繁琐.如果置换方程中变量x 与常量m 的角色，将原方程视为关于变量m 的方程，则有()21-x m=2－6x ，x≠1，故m=()2162--x x.因m 为负整数，故m≤－1，∴2－6x≤－()21-x ，即2x －8x+3≤0.解得4－13≤x≤4+13，且x≠1，∴x 的整数值为2，3，4，5，6，7，代入m=()2162--x x中进行验算，得到m 值为－10，－4.例4：解方程: x 3+23x 2+3x+3-1=0.分析 直接按x 是变量求解方程，显然难度极大，若适当转换角色，则求解十分容易.令3=a ，将a 看成作变量,x 看作常量.则原方程化为关于a 的方程：x 3+2ax 2+2a x+a-1=0即x 2a +（2x 2+1）a+ x 3-1=0，因式分解化为(a+x-1)(xa+x 2+x+1)=0 ∴a+x-1=0或者xa+ x 2+x+1=0，将a=3代入得 x=1-3或者x 2+(3+1)x+1=0 ∴原方程的根为x=1-3或者x=21(-3-1±23). 三、巧调恒成立问题中常量与变量的地位同方程问题中的常量与变量的相对特性类似，恒成立问题中的常量与变量按常态处理起来同样非常棘手，但若能巧调常量与变量的地位，则与方程问题的处理具有同等奇妙的效果.例5：已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12xm x f ,()12-=x x g ， 当|m|≤2时，()x f 的图象都在()x g 图象的下方，求x 的取值范围.分析 依题意知，当|m|≤2时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-12xm <12-x 恒成立，它是关于x 的不等式，这里x 为变量，m 为参变量，可构造函数()x F =⎪⎭⎫ ⎝⎛-12x m -12+x ，按常规求解极其繁琐，但若转换一下m 与x 的角色就简明多了.构造函数()m G =m x⎪⎭⎫ ⎝⎛-12-12+x ，它是关于m 的函数，这里m 为变量，为x参变量，依题意知，当|m|≤2时，其图象总在m 轴的下方.∴⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(G G ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+--<+---012)12(2012)12(2x x x x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<--->+-<231231271271x x x 或∴231271+<--x. 例6：对于11≤≤-a ，求使不等式1221212-+⎪⎭⎫⎝⎛<+⎪⎭⎫ ⎝⎛a x ax x 恒成立的x 的取值范围.分析 由1221212-+⎪⎭⎫⎝⎛<+⎪⎭⎫ ⎝⎛a x ax x 得122-+>+a x ax x 恒成立，这里x 为变量，a 为参变量，按常规求解极其繁琐.但若转换一下a 与x 的角色就简明多了，整理成关于a 的不等式0122)1(>+-+-x x a x ，构造函数()f a =122)1(+-+-x x a x ，则()()1010f f ->⎧⎪⎨>⎪⎩，由此易得到x 的取值范围为20><x x 或. 例7：设函数.3)(3xx x f += （I ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）当k k x f k x 2)4()(],1,1[,]21,2[2--+<-∈--∈λλ对任意实数时恒成立，求实数λ的取值范围.分析（I ）定义域：（－∞，0）∪（0，+∞）2233)(x x x f -=' 令f ′(x )>0,则x <－1或x >1，∴f (x )的增区间为（－∞，－1）∪（1，+∞） 令f ′(x )<0,则－1<x <1, ∴f (x )的减区间为（－1，0）∪（0，1）. （II ）令2233)(xx x f -='=0，则x =±1 x ∈[－2，－1]时，f (x )为增函数；x ∈[－1，－21]时， f (x )为减函数.x =－1时，f (x )max =f (－1)=－4∴λ2+(k －4) λ－2k>－4对任意k ∈[－1，1]恒成立 即k ∈[－1,1]时(λ－2)k+λ2－4λ+4>0恒成立若将k 视为常量，而λ为变量，问题将变为十分复杂; 将k 视为变量，而λ为常量，问题则变为十分简单.为此令g(k)=( λ－2)k+λ2－4λ+4只需⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g 时,满足题意这时，⎪⎩⎪⎨⎧>+-+⨯->+-+--0441)2(044)2)(1(22λλλλλλ 解得λ<1或λ>3即为所求.四、巧置轨迹问题中动定点的相对参照性自然界物体的动与静是相对的，参照系使然而已，因此轨迹问题中动点与定点同样是具有相对性的.以静止的观点处理轨迹问题中的动定点，有时是极其困难，甚至是无所适从的，但若能置换动定点的相对参照性，互换地位，以动点为定点，定点为动点，常常使问题得以简单地迎刃而解.例8：已知抛物线系:y=x 2+(2m+1)x+m 2-1=0,求各抛物线的公切线方程. 分析 在这里(x,y)为变量, m 为参变量对于每一个m 值,可以确定一条抛物线,若让(x,y)固定, m 作为变量,则方程可化为m 2+2xm+(x 2+x-y-1)=0 ①一般地,给定一个(x,y)的值,方程①可得二个解m 1、m 2,而每个m 决定一条抛物线,由此说明经过点(x,y)有两条抛物线,而当这两条抛物线重合时, 点(x,y)恰好在公切线上,此时方程①有重根.事实上,公切线上的点(x,y)都能使方程①有重根,而使方程①有重根的点(x,y)也都在公切线上.于是解答如下.解 将原方程化为:m 2+2xm+(x 2+x-y-1)=0令Δm =(2x)2-4(x 2+x-y-1)=0 即得抛物线系公切线方程: x-y-1=0.例9：过椭圆13422=+y x 内一点M(1,1)作动弦AB,过A 、B 两点分别作椭圆的切线l 1、l 2,求l 1与l 2的交点P 的轨迹方程分析：先让动点P 固定，求出切点弦AB ，由AB 过M 即可得M 与P 的关系.设P(x,y)，M ()00,y x ,A ()11,y x ，B ()22,y x ，则椭圆13422=+y x 上过A 、B 两点的切线l 1、l 2的方程分别为l 1：13411=+y y x x ；l 2：13422=+yy x x ∴动弦AB 的方程为13400=+yy xx ①，其中M ()00,y x 为动点，P(x,y)为定点 由已知0x ＝1，0y ＝1，代入方程为①得点P(x,y)的方程为134=+yx 即3x+4y-12=0.。