湖北省荆门市龙泉中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 将集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=+125),(y x y x y x 表示成列举法，正确的是A.{}3,2B.(){}3,2C.{}3,2==y xD.()3,2 2. 已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则A.{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|0}A B x x =< D ．A B =∅ 3. 设A ，B 是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l ，2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是 A. 5B. 4 C 3 D 24. 下列各式中错误．．的是 A. 330.80.7> B. lg1.6lg1.4> C. 6.0log 4.0log 5.05.0> D. 0.10.10.750.75-<5. 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了akm ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了()bkm b a <, 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为6.()2log 9·()3log 2=A.4 B. 2C. 1D. 2 7. 已知()7532f x ax bx cx =-++，且()5f m -=，则()5f 的值为A. 4B. 0C. 2mD. 4m -+ 8. 若函数()y f x =的定义域是[0，4]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 tsODtsOCtsOB .tsOA.A ．[]0,8B ．[]0,1)(1,8⋃C ．[]0,1)(1,2⋃D ．[]0,29.已知函数()14212x a xf x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意12,x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是A. ()1,+∞B. ()1,8C. [)4,8 D. ()4,8 10. 若变量x ，y 满足01ln=-yx ，则y 关于x 的函数图象大致是11.设函数()()213log 1f x x =+ 113x++，则使得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 设函数()(01),1xx a f x a a a =>≠+且 []m 表示不超过实数m 的最大正数，则函数11()()22f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域是 A. {}0,1,2 B. {}10-， C. {}1,0,1- D. {}0,1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13 .已知函数)(x f y =如右表，则[]=)3(f f __ __．14. 已知()22x x f x +122019()()()202020202020f f f +++= 15. 一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精 含量每小时减少25%．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL ，那么这个驾驶员至少要经过_______小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)16. ()2()ln 1xf x e =+(e 为自然对数的底数)，且()()(),()()f xg xh x g x h x =+其中是奇函数，为偶函数，则()h x = . 三、解答题17、(本小题满分10分) （1）()()10.5320710720.12392712π--⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）33lg 2lg 53lg 2lg 5++；18、(本小题满分12分) 已知函数1()f x kx x=-，且(1)1f =． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在()0,+∞上的单调性，并用定义加以证明．19、(本小题满分12分) 已知函数2()2f x x x a =--．（1）当a =0时，画出函数()f x 的简图，并指出()f x 的单调区间； （2）若方程()0f x =有4个不等的实根，求a 的取值范围．20. (本小题满分12分) 已知函数()131301a a f x log x log xa a =+--≠（）（）（）＞且 （1）求()f x 的定义域，并证明()f x 的奇偶性； （2）求关于x 的不等式()0f x >的解集．21、(本小题满分12分）已知函数()log (1)a f x x a =>, 关于x 的不等式()1f x <的解集为m n （，），且103n m +=. （1）求a 的值.（2）是否存在实数λ，使函数()21()[()]23,,93g x f x f x x λ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦的最小值为2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.22. (本小题满分12分） 已知函数()22x x af x b+=+是定义在R 上的奇函数(1) 求,,a b 并求()f x 的值域；(2) 若函数()gx 满足()[]()222x x f x g x -⋅+=-,若对任意0,x R x ∈≠且不等式(2)()3g x mg x ≥- 恒成立,求实数m 的最大值．……………………………………2分答案一、选择题：BABDC CDCCB DD 二.填空题：13. 3 14. 2019215. 5 16. ()()2ln 1(ln )x x xe x e e -+-+也可写成 三.解答题：17.解:（1）原式=11232251647390.12712-⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=53710033412++-+=100……………………5分 （2）原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++=()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1………10分(中间步骤可酌情给分)18解:（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，…………………………………2分定义域为：()(),00,-∞+∞． ………………………………………………………4分（2）在()0,+∞上任取1212,,x x x x <且，则 ………………………………………………………6分12121211()()22f x f x x x x x -=--+=12121()(2)x x x x -+………………………………………8分 1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴< ………………………………10分 所以函数1()2f x x x=-在()0,+∞上单调递增．……………………………………………12分 19解:（1）当a =0时，函数2(2)02()2(2)(2)02x x x f x x x x x x x x x --≤≤⎧=-=-=⎨-<>⎩或………2分图象如图所示：由函数的图象可得()f x 的增区间为[0，1]、[2，+∞）；减区间为（－∞，0）、（1，2）．…………………………………………………………………6分（2）若方程()0f x =有4个不等的实根即函数22y x x =-的图象和直线y =a 有4个交点，结合（1）中函数的图象可得0＜a ＜1．…………………………………………………………12分20解:（1）根据题意，函数log 13log 13a a f x x x=+--（）（）（）， 则有130130x x +>⎧⎨->⎩，解得函数f x （）的定义域为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭； ……………………………………2分首先，定义域关于原点对称，则 …………………………………………………………………3分()13133]131[a a a a f x log x log x log x log xf x -=--+=-+--=-（）（）（）（）（） 则函数f x （）为奇函数， …………………………………………………………………………6分（2）根据题意，13130a a log x log x +--（）（）>即1313a a log x log x+-（）>（）， 当1a ＞时，有1301301313x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解可得103x ＜＜，此时解集为10,3⎛⎫⎪⎝⎭； ………………8分 当01a ＜＜时，有1301301313x x x x+⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＜，解可得103x -<<，此时解集为103-（，）； ………10分 故当1a ＞时，不等式的解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，不等式的解集为103-（，）． ………………………………………………12分 21．解：（1）由log 11log 1a a x x <⇒-<<，又1a >，所以1a<x <a ， 又因为()1f x <的解集为(,)m n ，所以1,n a m a== ………………………………………2分 因为103n m +=，所以1103a a +=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a = ………5分 （2）由（1）可得 ()2331()log 2log 3,,93g x x x x λ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦令31log ,,93t x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2[1,2],()23,[1,2]t h t t t t λ∈-=-+∈-设……………………6分①当1λ≤- 时，()[1,2]h t -在上单增，min ()(1)4221h t h λλ=-=+=⇒=-； …………8分 ②当12λ-<< 时，()[1,][2]h t λλ-在上单减，在，上单增，22min ()()232h t h λλλ==-+= ，解得1λ=±，又12λ-<<，故1λ= …………10分③当2λ≥ 时，()[1,2]h t -在上单减，min ()(2)4432h t h λ==-+= ， 解得524λ=<，不合题意. ……………………………………………………………11分 综上，存在实数1λ=±符合题意. ………………………………………………………12分 22解：因为()f x 是奇函数,所以()()0f x f x +-=,所以22022x x x x a ab b--+++=++化简并变形得：()(22)2(1)0x x a b ab -++++= …………………………………1分要使上式对任意的x 成立,则010a b ab +=⎧⎨+=⎩解得1111a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或………………………2分因为()f x 的定义域是R ,所以11a b =⎧⎨=-⎩舍去 即11a b =-⎧⎨=⎩,………………………………3分所以212()1,2121x x x f x -==-++由()()()1222110,12,0()11,1212121xx x x f x +>⇒∈⇒-∈-⇒=-∈-+++……5分 法2：因为()f x 是R 上的奇函数,故1(0)0011af a b+=⇒=⇒=-+ …………………………1分 再由112121(1)(1)00122f f b b b----+-=⇒+=⇒=++ ……………………………………2分故21()21x x f x -=+，检验：2121()()02121x x x x f x f x ----+-=+=++，故()f x 是R 上的奇函数故1,1a b =-= ………………………………………………………………………3分()211+2=01,1211x x x yy y y-=⇒>⇒∈-+-由…………………………………………………5分（2）因为()[]()222xxf xg x -⋅+=-,所以()22(0)xxg x x -=+≠, ………………7分所以()()222222222(0)xx x x g x x --=+=+-≠．不等式(2)()3g x mg x ≥-恒成立,即()()2222223xx x x m --+-≥+-恒成立, ………………………………………………8分令22(2)x x t t -=+>,则223t mt -≥-即1m t t≤+在t>2时恒成立． ………………10分又()11152+222y t y t t t =+∞=+>+=在，上单增，故 所以52m ≤, 故实数m 的最大值为5.2…………………………………………………………12分。