第四章
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
d2 x + x = 0 的两个线性无关解， 并写 dt2
【例4】 设二阶齐次线性方程在区间[a, b]上的任意两个线性无关解组分别为 (x1 (t), x2 (t))和(x1 (t), x2 (t)) 证明：它们的Wronski行列式之比是一个不为零的常数。
(1) (n−1)
(4.14)
4.2.2
齐次线性方程解空间的结构
这一节我们讨论齐次线性方程(4.13)的解具有哪些性质。
4.2 高阶线性微分方程的一般理论
5
定理 4.2 (叠加原理) 如果x1 (t), x2 (t), · · · , xk (t)是方程(4.13)的k 个解，则它们的线性组 合c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + · · · + ck xk (t) 也是方程(4.13)的解。其中c1 , c2 , · · · , ck 是任意常数。 【例1】 验证et , e−t , c1 et + c2 e−t 是方程 d2 x − x = 0的解。 dt2 注1 在定理4.2中， 当k = n时， 函数c1 x1 (t)+ c2 x2 (t)+ · · · + cn xn (t)不一定是方程(4.13)的
则称函数x1 (t), x2 (t), · · · , xk (t)在区间[a, b]上线性相关，否则称这些函数线性无关。 【例2】 设 x1 (t) = t2 , 0, 0, t2 , −∞ < t ≤ 0 0 < t < +∞ −∞ < t ≤ 0 0 < t < +∞
x2 (t) =
讨论函数x1 (t)与x2 (t)在区间(−∞, +∞)上的线性相关性。 定义 4.3 设函数x1 (t), x2 (t), · · · , xk (t)在区间[a, b]上分别存在k − 1阶导数，行列式 x1 (t) W [x1 (t), x2 (t), · · · , xk (t)] ≡ W (t) ≡ x1 (t) ···
4.1.2
不显含自变量t的方程
假设(4.7)中不显含自变量t， 则方程变为 F (x, x , · · · , x(n) ) = 0 (4.10)
4.1 高阶微分方程的降阶法 通过变量替换， 把x看成新的自变量， 则方程可降一阶。 令x = y ， 则 dx =y dt d2 x dy dy dx dy = = · =y· 2 dt dt dx dt dx dy dy d(y ) d(y ) dx 2 d3 x dy 2 2d y dx = dx · = = y ( ) + y dt3 dt dx dt dx dx2 ······ 用数学归纳法知， x(k) 可用y, dy dk−1 y , · · · , k−1 (k ≤ n)来表达。于是方程(4.10)变为 dx dx dy dy d2 y , y ( )2 + y 2 2 , · · ·) = 0 dx dx dx
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第四章 高阶微分方程 定理4.3的逆定理不一定成立。 如果函数x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)的Wronski行列式在区间[a, b]上某点t0 处不等于零，
注2 注3
即W (t0 ) = 0， 则这些函数在区间[a, b]上必线性无关。
定理 4.4 设函数x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)是方程(4.13)的n个解，则它们在区间[a, b]上线性 无关的充分必要条件为其Wronski 行列式W (t) = 0, t ∈ [a, b]。 定理 4.5 n阶齐次线性方程(4.13)一定存在n个线性无关解。 定理 4.6 (通解结构定理) 如果x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)是方程(4.13)的n个线性无关解，则 方程(4.13)的通解可以表示为 x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + · · · + cn xn (t) 其中c1 , c2 , · · · , cn 是任意常数。且通解(4.15)包括了方程(4.13)的所有解。 问题：n阶齐次线性方程的解与它的系数之间的关系 定理 4.7 (Liouville公式) 设x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)是方程(4.13)的任意n个解，W (t)是它 的Wronski行列式，则W (t)满足一阶线性方程 W (t) = −a1 (t)W (t) 因而有 W (t) = W (t0 ) · e
dy 2 ) dy dx = dx2 2(1 − x) y (0) = 0, y (0) = 0
2
1+(
(4.6)
1
2
第四章 高阶微分方程
(4.6)就是一个带有初始条件的二阶微分方程。如果能求出这个方程的解，就可以解
决敌舰航行多远时被击中这样的问题了。■
4.1
n阶微分方程的一般形式
高阶微分方程的降阶法
(k−1) (t) x1
x2 (t) x2 (t) ···
(k−1) (t) x2
··· ··· ··· ···
xk (t) xk (t) ···
(k−1) (t) xk
称为这些函数的Wronski行列式。 定理 4.3 如果函数x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)在区间[a, b]上线性相关， 则它们在[a, b]上的Wronski行 列式恒等于零。
2 2d y x dx2
(4.12)
(4.13)
− (x + 2)(x
dy − y ) = x4 。 dx
问题：高阶线性方程的解是否存在？如果有解， 在什么条件下解是唯一的？ 定理 4.1 如果函数ai (t) (i = 1, 2, · · · , n)和f (t)在区间[a, b]上连续，则对任一 t0 ∈ [a, b]及 ，初值问题 任意x0 , x0 , · · · , x0 n dn−1 x dx d x + a ( t ) + · · · + an−1 (t) + an (t)x = f (t) 1 n n − 1 dt dt dt x(t ) = x , x (t ) = x(1) , · · · , x(n−1) (t ) = x(n−1) 0 0 0 0 0 0 存在唯一解x = φ(t), t ∈ [a, b]。
4
第四章 高阶微分方程
4.2
高阶线性微分方程的一般理论
高阶线性微分方程， 是常微分方程中极其重要的一类方程。
4.2.1
初值问题解的存在唯一性定理
定义 4.1 称方程 dn x dn−1 x dx + a1 (t) n−1 + · · · + an−1 (t) + an (t)x = f (t) n dt dt dt 为n阶线性微分方程。其中ai (t) (i = 1, 2, · · · , n)及f (t)在区间[a, b]上连续。 如果f (t) ≡ 0， 则方程(4.12)变为 dn x dn−1 x dx + a ( t ) + · · · + an−1 (t) + an (t)x = 0 1 n n − 1 dt dt dt 称之为n阶齐次线性微分方程， 简称齐次线性方程。 如果f (t) ≡ 0， 也称(4.12)为n阶非齐次线性微分方程， 简称非齐次线性方程。 考察下列微分方程： d2 x dx (1) (1 − t2 ) 2 − 2t + 2x = 0； dt dt (2) (3) (4) d2 y + y = x; dx2 d2 x dx + + x = sin t; dt2 dt
本节将介绍两种可降阶的高阶微分方程。
F (t, x, x , · · · , x(n) ) = 0 其中n ≥ 2， t为自变量， x为未知函数。
(4.7)
4.1.1
不显含未知函数x的方程
如果(4.7)中不显含未知函数x及其直到k − 1 (k ≥ 1)阶导数， 则方程(4.7)为 F (t, x(k) , · · · , x(n) ) = 0 则作变量替换， 令x(k) = y ， 则 x(k+1) = 于是(4.8)变为 dn−k y F (t, y, · · · , n−k ) = 0 dt 原方程的阶数降了k 阶。 如果能求出(4.9)的通解 y = φ(t, c1 , · · · , cn−k ) 意味着 x(k) = φ(t, c1 , · · · , cn−k ) 只要对上式连续积分k 次， 可得原方程(4.8)的通解。 5 4 dx dx 【例1】 求方程t 5 − 4 = 0的通解。 dt dt 【例2】 求方程y = e2x − cos x的通解。 (4.9) dy dn−k y , · · · , x(n) = n−k dt dt (4.8)