( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * ) ( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x)
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故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
线性无关概念.
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关.
的通解为
Y ( x) y ( x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
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例4. 已知微分方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 有三
个解 y1 x , y2 e x , y3 e 2 x , 求此方程满足初始条件
y (0) 1, y(0) 3 的特解 .
高阶线性微分方程
线性齐次方程解的结构
线性非齐次方程解的结构
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y P( x) y Q( x) y f ( x)
( n)
(二阶线性微分方程)
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
a1 ( x) y
( n 1)
an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
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说明:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解 但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 方程 对应齐次方程 有特解 有通解
证毕
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 4.
分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, m )
f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
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一、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )
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二、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y Y ( x) y * ( x) ②
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x) y * ( x) 代入方程①左端, 得
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
数) 是该方程的通解.
y2 tan x y1
推论.
例如, 方程
有特解
且
常数, 故方程的通解为 是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为
② 则微分
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
y C1 e
r1 x
C2 e
r2 x
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 使 存在不全为 0 的 线性相关
线性无关 线性无关
y1 ( x) k2 ( 无妨设 y2 ( x) k1 k1 0 ) y1 ( x) 常数 y2 ( x)
(证明略)
的特解, 是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x)
k 1
m
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
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定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1 Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 x y2 y1 e x 2x 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为
y C1 (e x x) C2 (e 2 x x)
代入初始条件 y (0) 1, y(0) 3, 得 C1 1, C2 2 , 故所求特解为 y 2 e 2 x e x .
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第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子,
rx y e ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0