高阶线性微分方程常用解法简介摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常用方法如。
关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的 重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
上述解够成（3）的基本解组.1.2.3特征方程有复根i λαβ=+，且为k 重特征根。
则（3）有2k 个实解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t t t t k t t t t t t t t k t t e te t e t e e te t e t e αβαβαβαβαβαβαβαβ--要点是把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题。
下面介绍两个例子.例1. 求方程 ''''''39130y y y y -++= 的通解.解：特征方程为3239130λλλ-++= 或 2(1)(413)0λλλ+-+=由此得 1λ=-1，=2+3i, 3λ=2-3i因此，基本解组为 22,cos3,sin 3x x x e e x e x -通解为 2123(cos3sin 3)x x y C e e C x C x -=++.例2. 求方程 (4)''''''45440y y y y y -+-+= 的通解.解：特征方程为43245440λλλλ-+-+=由于432224544(2)(1)λλλλλλ-+-+=-+故特征根是 1,2342,,i i λλλ===-它们对应的实解为：22,,cos ,sin x x e xe x x .所求通解为21234()cos sin x y e C C x C x C x =+++.2．比较系数法用于求常系数非齐次线性微分方程的特解.2.1类型1设t m m m m e b t b t b t b t f λ)()(1110++++=-- ，其中λ及),,1,0(m i b i =为实常数，那么常系数非齐次线性微分方程有形如t m m m k e B t B t B t x λ)(~1110--+++= 的特解，其中k 为特征方程0)(=λF 的根λ的重数（单根相当于k=1；不是特征根时，取k=0）， 而m B B B ,,,10 是待定常数，可以通过比较系数来确定.2.1.1如果0=λ，则此时m m m m b t b t b t b t f ++++=--1110)( 。
现在分为两种情况讨论.（a ）0=λ不是特征根的情形，以m m m B t B t B x +++=- 110~代入方程，并比较t 的同次幂的系数，可以唯一的逐个确定m B B B ,,,10 .（b ）0=λ是k 重特征根的情形，以)(~110m m m k t t t x γγγ+++=- 为特解2.1.2如果0≠λ，同样分为两种情况讨论：λ不是特征方程的根的情形，有t m m m e B t B t B x λ)(~110+++=- 特解； λ是特征方程的k 重根的情形，有t m m m k e B t B t B t x λ)(~110+++=- 特解. 例1 求方程 x e y y 21=-'' 的通解. 解 易见，对应齐次方程的特征方程为012=-λ特征根是1±=λ，对应齐次方程的通解为x x e C e C y -+=21由于1=α是特征方程的根，故已知方程有形如x Axe y =1的特解.将它代入原方程，得x x x x e Axe Axe Ae 212=-+ 从而41=A ，故x xe y 411=，由此得通解 x x x xe e C e C y 4121++=- 例2 求方程 x x y y 2552+-='-'' 的通解.解 对应齐次方程的特征方程为0)5(,052=-=-λλλλ特征根为5,021==λλ,齐次方程的通解为x e C C y 521+=由于0=α是单特征根,故已知非齐次方程有形如)(21C Bx Ax x y ++=的特解.将它代入已知方程,并比较x 的同次幂系数,得0,0,31===C B A 故3131x y =,最后可得所求通解 x e C C x y 521331++= 2.1类型2设βαββ，其中at e t t B t t A t f ]sin )(cos )([)(+= 是常数A(t),B(t)是带实系数的多项式，一个次数为m,另一个不超过m.则非齐次线性微分方程有形如at k e t t Q t t P t x ]sin )(cos )([~ββ+=的特解，这里k 为特征方程的根βαi +的重数。
而P(t),Q(t)均为待定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式，可以通过比较系数的方法来确定.例 求方程 )sin 7(cos 2x x e y y y x -=-'+'' 的通解.解 先求解对应的齐次方程： 02=-'-''y y y我们有 2,1,02212-===-+λλλλx x e C e C y 221-+=因为数i i ±=±1βα不是特征根，故原方程具有形)sin cos (1x B x A e y x +=的特解.将上式代入原方程,由于)sin cos (1x B x A e y x +=]sin )(cos )[(1x A B x B A e y x -++=' )sin 2cos 2(2x A x B e y x -=' 故+++-=-'+''x B A e x A x B e y y y x x cos )[()sin 2cos 2(2x x x A B sin 7cos sin )(-=-=x e )sin 7(cos x x -或x x x A B x A B sin 7cos sin )3(cos )3(-=+--比较上述等式两端的x x sin ,cos 的系数,可得73,13-=--=+-B A B A 因此,1,2==B A .故)sin cos 2(1x x e y x +=.所求通解为x x x e C e C x x e y 221)sin cos 2(-+++=.3.常数变易法只要知道对应的齐次线性微分方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐次线性微分方程的基本解组.例：求非齐次方程''1cos y y x+=的通解.已知12cos ,sin y x y x ==是对应齐次方程的线性无关解. 解：则它的通解为12cos sin y C x C x =+ 现在求已知方程形如112()cos ()sin y C x x C x x =+的一个特解.由关系式，''12(),()C x C x 满足方程组'1'20cos sin ()1sin cos ()cos x x C x x x C x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦或写成纯量方程组''12''12()cos ()sin 01()sin ()cos cos C x x C x x C x x C x x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解上述方程组，得 ''12sin (),()1cos x C x C x x=-=积分得 12()cos ,()C x ln x C x x ==故已知方程的通解为12cos sin cos ln cos sin y C x C x x x x x =+++除以上方法外，常用的还有拉普拉斯变换法，用拉普拉斯变换法则首先将线性微分方程转换成复变数的代数方程，再由拉普拉斯变换表或反变换公式求出微分方程的解。