论台球碰撞中的力学问题摘要：本文利用刚体平面平行运动的有关理论对（台球）运动中的一些力学问题作了具体的分析，首先以在理想状态下台球在桌面上的弹性碰撞为切入点，思考并找到计算两球碰撞后运动状态的方法；再由刚体平面平行运动知识对（台球）在桌面上运动时的速度和加速度分别作了具体的分析和推理。
关键词：台球；碰撞；平面运动；速度；加速度；相互作用力；目录引言 (3)1理想状态下母球1与目标球2的弹性碰撞 (3)1.1 母球1与目标球2发生正碰 (4)1.2目标球2与母球1的斜碰 (4)1.3 母球与目标球相切 (4)2 球杆击球后台球的运动 (5)3 受杆冲击后台球上各点速度的分析 (6)3.1 台球在运动中的速度分析 (6)3.2 球杆击球后在桌面上母球任一点速度的两种计算方法的讨论 (8)3.2.1 运动分解法(简称基点法) (8)3.2.2 瞬时速度中心法(简称瞬心法) (9)4 在运动中台球上各点加速度的分析 (11)4.1 运动分解法(或基点法) (11)4.2 瞬时加速度中心法 (13)5 小结 (14)6 参考文献 (15)引言台球作为一项绅士运动广为流传，传入我国后，到现在台球已经在我国广为普及。
我作为一个台球爱好者，在学习了力学之后，对台球运动中蕴含的许多碰撞和刚体平面平行运动的理论产生了浓厚的兴趣也进行了简单的分析研究。
本文就台球碰撞及运动中所包含的一些力学问题作了简单的分析。
1 理想状态下母球1与目标球2的弹性碰撞目标球2起初在桌面上处于静止状态，母球1以（质心速度为）v 的速度与静止的靶球2发生碰撞（弹性碰撞），两球质量都为m 且半径均为R 。
设v 的方向与目标球球心间的距离为d ,碰撞后母球1与目标球2的质心速度分别为1v 、2v 。
下面我们对两球的碰撞作相应的讨论。
由于两球所作碰撞时间极短几乎没有动量和能量的损失弹性碰撞，由动量及能量相关守恒律知：12m m mv v v +=22212111222mv mv mv += 解得120νν⋅=(即1ν垂直于2ν)，故母球1与目标球2碰撞完成并彼此离开的时候，两球的即速度总是相互垂直。
当靶球2被母球1撞击时，在碰撞瞬间，母球1将其一部分动量分给了（变慢的）靶球2，而将剩余部分动量传送给目标球，两球速度大小的改变量与两球滚动的距离成正相关（转化法，利用为代替速度大小）。
下面以平面碰撞来推导公式，只单作纯地计算母球动量的传递方式及传递的量，不考碰撞产生的热所消耗的能量、空气阻力对球能量的消耗，球发生转动的能量以及桌面阻力对球消耗的能量，如图1所示： 1cos 2vdv v R=∂= （1）2cos v v θ==（2） 1.1 母球1与目标2球发生正碰当d=0时，母球与目标球发生的是正碰，母球1的速变为零，目标球2以母球1原来的速度沿着母球1的运动方向继续运动。
得 ： 212mv lmg μ=2v v =即：要使目标球落袋，母球应具有的质心加速度大小为v = 1.2 目标球2与母球1的一般斜碰当0< d < 2R 时, 为一般斜碰撞. 设目标球2与球袋距离为l ,要使目标球入袋, 则由能量守恒定律得:212m v l m gμ=2v =（μ为台球与桌面台泥之间的滑动摩擦系数）。
将2v =2）式中，测量l 、的值，并代入解得v 的数值，即为母球1为使目标球落袋应有的质心的初速度。
1.3 母球1与目标2球相切当d=2R 时，母球与目标球相切，要使目标球落袋，母球必须被用力打出，即母球质心初速度v 须足够的大。
2 球杆击球后台球的运动设：台球的质量为m ，其半径为R ，当球杆撞击球时，球杆对母球有一水平方向作 用力使母球产生水平动量；如图2所示。
球杆打击母球的冲量为I ，不计摩擦力及其他阻力产生的冲量，则有o I Mv =o v 为母球受球杆撞击后开始运动的速度。
由于受到冲力（冲力矩）的作用，与此同时母球也发生了转动，假设球杆作用点距桌面的竖直距离为h ，则以质心为参考点对质心的力矩为I （h-R ），有下面地关系式 ()o h R J ω-=o ω是母球受冲击后产生的角速度，J 代表母球的转动惯量，且 225J MR =所以： 2()5()2o h R I h R I J MR ω--== 或 25()2o o h R v Rω-=由以上两式得受球杆冲击后母球与桌面接触点P 的速率。
227575522oP o o o R h R h I Mv MR v v R I v RM Rω--==-== （1）当h=7/5R 时，母球无滑动地作纯滚动，不会产生滑动摩擦力，只有滚动的阻力。
(2）当h>7/5R 时，母球既滑动又滚动的运动，且滑动摩擦力使质心产生加速度，使之质心的速度增加，并使它的转动角速度变小，直到母球作纯滚动为止。
(3）当h<7/5R 时，母球作既滑动又滚动的运动，滑动摩擦力产生转矩产生角加速度使它转动角速度加快、质心速率则会由于总能量不会增加而变慢，直到母球只滚动而没有滑动。
3 台球上个点在杆撞击后的速度分析 3.1 台球在运动过程中的速度的分析台球可以看作刚体，利用其定义：（刚体的平面平行的运动：刚体内任一点与固定平面始终保持一定距离的运动称为刚体平面平行运动）。
在球杆击球后，台球在桌面上做的是平行运动，遵循其相关的规律。
由刚体平面运动的特性可得，作一平面L 与固定平面(台球桌面)0L 平行，与台球相交。
假设该平面内的点运动在其自身所在平面内，在该平面内作坐标系OXY 。
只要确定图形,上任意一条线段AB 的位置，就可确定图形C,在坐标系中的具体位置。
因为图形上任何第三点至A 、B 两点的距离都不变，当线段AB 的位置确定后，其余各点的位置也就完全确定了。
线段AB 的位置完全由A 点的坐标A x 、A y （或矢径A r ）和自ox 轴到线段AB 所量的ϕ角所确定。
当图形运动时，角ϕ、坐标A y 和A x 全部是随时间t 变化的连续函数，即： 1()A x f t =2()A y f t =3()f t ϕ=由上式可以推出台球在任一时刻的位置及任何一点的运动情况。
在这儿用点的相关的运动知识。
任意点M 的矢径如图4所示：'M A r r r =+ （1）'r 表示M 点对于A 点的矢径。
因台球不会变形，'r 的模'r AM =和角MAB ∂=∠均 为常数（C ），M 点的方程为：'cos()M A x x r ϕα=++ （2）'sin()M A y y rϕα=++将上式对t 求一次导，可得出点M 的速度V,在各坐标轴上的投影： 'sin()M A x x r ϕϕ=-+∂ （3） 'cos()M A y y r ϕϕ=++∂ 上式对时间求导,在坐标轴上的投影表示为：'2'cos()sin()M A x x r r ϕϕαϕϕα=-+-+ (4)'2'sin()cos()M A y y r r ϕϕαϕϕα=-+++由此可知，从点的运动学看，只要知道台球的运动情况及表达式，用求导函数的方法就可求得台球上任一点的速度与角速度。
所求得的结果的物理意义可作如：从以上式子中得知，式的右端第一个数表示加速度，以后各项表示图形上M 点相对于以A 点为原点的平动坐标系的运动。
因此，用点的复合运动的方法来分析台球运动的问题。
由刚体平面运动方程： 1()A x f t =2()A y f t =图43()f t ϕ=可以得到两种特殊情形：a 、当ϕ=常数时，而1()A x f t =、2()A y f t =。
则线段AB 的方向和位置保持不变。
这表示台球在平面内作平动。
b 、当A x 和A y 都为常数，而角ϕ随时间变化，即3()f t ϕ=。
这表示图形绕垂直于平面的固定轴A 转动。
3.2 球杆击球后在桌面上母球任一点速度的两种计算方法的讨论 3.2.1 运动的分解随着母球运动的分解，对母球上任意点的运动也作相应地分解，利用点的复合运动的有关方程及分析方法，可以求出母球1上任一点的速度。
如图5，选取运动的母球上任一点A 选为基点来分解运动。
令某A 点瞬时的线速度A v ，母球的瞬时角速度为ω，，母球上任一点M 的绝对速度为：M e r v v v =+因动坐标系随基点平动，故质心速度e A v v =。
又因M 点的相对运动是以基点为中心的圆周运动，故速度'r v r ω=⨯，'r 是由基点A 引向M 点的矢径，r v 的方向与'r 垂直。
因此，M 点的速度为 M r v v r ω=+⨯此式表明母球上任一点M 的速度等于基点的速度和M 点对以基点为原点的平动坐标系的相对速度的矢量和。
A 图5因母球中心O 点速度顺心是已知的，故选O建立平动坐标系O 'x 'y ,将母球的平面运动分解为平面运动和转动，则母球上任一点的运动可相应的加以分解，（质量中心）运动为 动坐标系O 'x 'y ,随O 点的平动。
根据相关定理，母球上点M 的速度可表示成： M o r v v v =+相对速度r v 大小为R ω，方向垂直于半径。
对于ω，利用母球无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C 的速度为零，即 0C o r v v v =+= 因此 or v v R Rω== 由图可知，ω为角速度。
求得ω后，各质点的速度就很容易求得，其关系如下： 2A o v v = B o v D o v = 各点运动的方向如上图6所示。
3.2.2 瞬时速度中心法，简称瞬心法用式M r v v r ω=+⨯线AC 上必有一点C 在此瞬时的速度为零， 如图7所示，则由A 到C 点的矢径'C r 满足以下条 件：图6'0C A C v v r ω=+⨯= 'C A r v ω⨯=-或写成 Av AC ω=，0ω≠，A AC v ⊥C 点称为台球的瞬时速度中心，简称瞬心。
如果在此瞬时选择瞬心C 为基点来分析台球式M r v v r ω=+⨯就变为''M C M Mv v r r ωω=+⨯=⨯ 这里'M r 是M 点对于瞬心C 的矢径，如图7所示，ω是台球的角速度。
换句话说，这时质心速度为零，只剩下 台球绕瞬心C 转动的相对速度；或者说台球的 瞬时运动是绕瞬心C 以角速度ω的转动。
此瞬时台球上各点速度的分布情形如右图8所示，它与刚体绕定轴转动时各点速度的分布情形相同。
但台球的运动与刚体绕定轴转动并不相同，因C 点不是固定点，它只是在这一瞬时速度为零。
因为不同的瞬时，瞬心C 的位置不同，故台球的平面运动可以看成是绕一系列的瞬心作瞬时转动。