数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、∑∞=1n na收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）1、4202sin limx dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zy x u = ，求yx u∂∂∂2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。

，《数学分析II 》考试题（2）一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x x cpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求yx u∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx xxp的敛散性。

3、讨论∑∞=-+133))1(2(n nnn n 的敛散性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰badx x f2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu《数学分析II 》考试题（3）五、叙述题：（每小题5分，共15分） 1、定积分 2、连通集3、函数项级数的一致连续性 六、计算题：（每小题7分，共35分） 1、⎰edx x 1)sin(ln2、求三叶玫瑰线],0[3sin πθθ∈=a r 围成的面积3、求52cos12πn n n x n +=的上下极限 4、求幂级数∑∞=+12)1(n nnx 的和 5、),(y x f u =为可微函数， 求22)()(yux u ∂∂+∂∂在极坐标下的表达式 七、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠+=0000,01cos1sin )(),(22y x y x yx y x y x f 或，求),(lim )0,0(),(y x f y x →，问),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞++01dx xx qp 的敛散性。

3、讨论]1,0[1)(∈++=x xn nx x f n 的一致收敛性。

八、证明题：（每小题10分，共20分）1、 设f （x ）在[a ,+∞）上单调增加的连续函数，0)0(=f ，记它的反函数f --1（y ），证明)0,0()()(010>>≥+⎰⎰-b a abdy y f dx x f ba2、 设正项级数∑∞=1n nx收敛，证明级数∑∞=12n nx也收敛《数学分析》（二）测试题（4）一． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是[]b a ,本身。

2．函数 ()1ln 2-+x x 是112-x 在区间()∞+,1的原函数。

3．若()x f 在[]b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上必可积。

4．若()x f 为连续的偶函数，则 ()()dt t f x F x ⎰=0亦为偶函数。

5．正项级数 ()∑∞=+1!110n nn 是收敛的。

二．填空题（每小题3分，共15分）：1．数列 ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-131n n n的上极限为 ，下极限为 。

2．=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222222211lim n n n n n n 。

3．=⎰x tdt e dx d tan 0。

4．幂级数∑∞=⋅13n nnn x 的收敛半径=R 。

5．将函数 ()()ππ<<-=x x x f 展开成傅里叶级数，则=0a ，=n a ， =n b 。

三．计算题（每小题7分，共28分）：1．⎰+-x x e e dx； 2．⎰e dx x x 0ln ； 3．dx x x⎰∞++041； 4．⎰-211x xdx四．解答题（每小题10分，共30分）：1．求由抛物线 x y 22= 与直线 4-=x y 所围图形的面积。

2．判断级数()∑∞=-11tan 1n nn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3．确定幂级数 ∑∞=--11212n n n x 的收敛域，并求其和函数。

五．证明题（12分）：证明：函数 ()∑∞==14sin n n nxx f 在()∞+∞-,上有连续的二阶导函数，并求()x f ''。

《数学分析》（二）测试题（5）二． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．设a 为点集E 的聚点，则E a ∈。

2．函数 ()1ln 2++x x 是112+x 在()∞+∞-,的原函数。

3．有界是函数可积的必要条件。

4．若()x f 为连续的奇函数，则 ()()dt t f x F x ⎰=0亦为奇函数。

5．正项级数 ∑∞=122n n n 是收敛的。

二．填空题（每小题3分，共15分）：1．数列 (){}n12-+ 的上极限为 ，下极限为 。

2．=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n n n n n n n n 。

3．=⎰x tdt e dxd sin 0 。

4．幂级数∑∞=+1214n nn x n 的收敛半径=R 。

5．将函数 ()()ππ<<-=x x x f 展开成傅里叶级数，则=0a ，=n a ，=n b 。

三．计算题（每小题7分，共28分）：1．dx xx ⎰+239； 2．⎰10dx e x；3．⎰∞+-+222x x dx ； 4．⎰-1021x xdx四．解答题（每小题10分，共30分）：1．求由两抛物线 2x y = 与 22x y -= 所围图形的面积。

2．判断级数()∑∞=+-11ln 1n n nn 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3．确定幂级数 ∑∞=-11n n xn 的收敛域，并求其和函数。

五．证明题（12分）：证明：函数 ()22121n x n e nx f -∞=∑= 在 [)∞+,0 上连续。

《数学分析》（二）测试题（6）一．判断（2*7=14分）（ ）1. 设[]b a x f x ,)(0在为上的极值点，则0)(0='x f（ ）2.若在[]b a ,)()(],,[),()(),()(x g x f b a x b g b f x g x f ≤∈∀='≥'有则对 （ ）3.若A x A x ∈的聚点，则必有为点集 （ ）4. 若()C x F dx x F x F +='⎰)()()(则连续，（ ）5.若[][])()(,,,(22x f dt t f b a x b a x f x a ='⎪⎭⎫⎝⎛∈⎰则上连续，）在（ ）6.若必发散）＋（则，发散收敛，∑∑∑n n n n b a b a （ ）7.若∑∑必收敛收敛，则32n n a a二．填空（3*7=21分）1. 已知()____________)(,2)(ln =-='x f x x f 则 2．___________)1ln(sin 2=+⎰dx x x ππ－3.⎰=->≤⎩⎨⎧=202________)1(,)0()0(dx x f x x ex x f x 则）（设4 .求⎰=→xx dt t x 023sin 1lim________________5.求(_______)123的拐点坐标+-=x x y 6．用定积分求________12111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n7.幂级数nnx n ∑⨯21的收敛半径R ＝ 三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)1. ⎰dx xe x2. dx x x⎰-1123.dx x ⎰10arcsin4．求曲线所围成的图形的面积与x y x y =-=22四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 .∑∞=⋅1!2n nn nn2 .判别∑∞=+-122)1(n nxn n 在）（∞+∞-,上是否一致收敛，为什么五．证明：(9+10=19分)1．设级数∑2n a 与∑2n b 都收敛，证明：∑n n b a 绝对收敛2．设[]b a x f ,)(在上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：存在 一点),(b a ∈ξ，使得 )()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ《数学分析》（二）测试题（7）一．判断（2*7=14分）（ ）1. 设0)(0='x f ，则)(0x f x 必为的极值点（ ）2.若在[]b a ,)()(],,[),()(),()(x g x f b a x b g b f x g x f ≥∈∀='≥'有则对 （ ）3.若A x A x 可能不属于的聚点，则为点集（ ）4. 若()C x F dx x F x F +='⎰)()()(则连续，（ ）5.若[][])()(,,,(x f dt t f a b x b a x f b x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈⎰-则上连续，）在（ ）6.若收敛则级数，∑<=+∞→n nn n u l u u 1lim1（ ）7.∑至少存在一个收敛点幂级数n n x a二．填空（3*7=21分）1. 已知()____________)(,2)1(2=-='x f x x f 则＋2．___________1cos ,1cos 14114=+=+⎰⎰dx x x A dx x x 则已知－3.⎰=->≤⎩⎨⎧+=202________)1(,)0()0(1dx x f x x xx x f 则）（设 4 .求⎰=-→x x dt ttx 00cos 11lim ________________ 5.求_____(__)12131)(23=+-=f x x x f 的极大值为 6．用定积分求________211lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n n 7.幂级数nn x n∑2的收敛半径R ＝三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)1. ⎰xdx x ln2. dx x x⎰-1123.dx x x ⎰10arctan4．求曲线的弧长到从103===x x x y四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 .∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+12121n n n n n 2 .判别∑∞=+-122)1(n nxn n 在）（∞+∞-,上是否一致收敛，为什么五．证明：(9+10=19分)1．设级数∑2n a 与∑2n b 都收敛，证明：∑+2)(n n b a 收敛2．[][]b a x x f dx x f x f b a x f b a,0)(,0)(,0)(,)(∈≡=≤⎰，证明：上连续，在若《数学分析》（二）测试题（8）三． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．开区间(),a b 的全体聚点的集合是(),a b 本身。