锐角三角函数
欧阳光明（2021.03.07）
题型：锐角三角函数基本概念(1)
例：已知α为锐角，下列结论：
（1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若
cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。
正确的有（）A.(1)(2)(3)(4)
B.(2)(3)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(1)(2)(3)
变式：
1、下列各式中，不正确的是（）
A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin =
D.tan45°>sin45°
2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（）
A.0°<∠A ≤90°
B.90°<∠A<180°
C.0°≤∠A<90°
D.0°≤∠A ≤90°
3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。
若sin53018\=0.8018，则cos36042\=
题型：锐角三角函数基本概念(2)
例：已知
sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2
3- C.43D.23± 变式：
1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC
B.sinA+sinB=sinC
C.2cos 2sin C B A +=
D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（）
A.m=n
B.m=2n+1
C.122+=n m
D.n m 212
-= 题型：求三角函数值
例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，
AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（）
A.sin α=54
B.cos α=53
C.tan α=34
D.cot α=34
变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167
3,则sin α=
2、已知sin α-cos α=5
1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
题型：三角函数值的计算(1)
例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ⋅⋅-+=
变式：1、计算：
2002020010)60cot 4()60tan 25.0(⋅= 2、计算：0
000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++-
题型：三角函数值的计算(2)
例：化简根式：
251cos 2451cos 4002+-= 变式：1、若009045<<a ，化
简下式：α
ααααααsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--= 2、已知tanA=3,且∠A 为锐角，则cotA-A 2sin =
3、已知α为锐角，2tan =α，求ααα
αsin 2cos 5cos sin 3-+的值。
题型：三角函数与一元二次方程的综合题(1)
例：在Rt △ABC 中，∠C=90°,斜边=5，两直角边的长a,b 是关于
x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个实数根，求Rt △ABC 中较
小锐角的正弦值。
变式：1、若c b a ,,是ABC ∆的三边，c b a 3=+，且方程0)1(2)1(22=+++-x c bx x a 有两个相等的实数根，求B A sin sin +的值。
2、已知a,b,c 为△ABC 中三个内角∠A,∠B,∠C 的对边。
当m>0时，关于x 的方程
02)()(22=⨯--++ax m m x c m x b 有两个相等的实数根，且0sin cos cos sin =⨯-⨯A C A C 。
试判断△ABC 的形状.
3、在斜边长为10的△ABC 中，∠C=90°，两直角边b a ,是关于x
的方程0632=++-m mx x 的两根。
（1）求m 的值。
（2）求两个锐角的正弦值。
题型：三角函数与一元二次方程的综合题(2)
例：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对
边，tanA,tanB 是关于的一元二次方程026371222=+-+-k k kx x 的两个
实数根。
（1）求k 的值。
（2）若c=10，且a>b ，求a,b.
变式：
1、在△ABC 中，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边，且c=53，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实数根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积
2、如图，梯形ABCD 中，AD//BC,AD=AB,813ABC =∆S S ABCD 梯形,梯形的高
AE=23
5。
且401311=+BC AD .（1）求∠B 的度数。
（2）设点M 是梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 交于点F ，当323
125=∆ADM S 时，求以CF,DF 的长为根的一元二次方程.
题型：构造直角三角形求线段的长(1)
例：1、如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=
23,AC=23,则AB 的长是（）
A.3+3
B.2+23
C.5
D.29
2、如图，在直角坐标
系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A 处，已知3OA =，1AB =，则点1A 的坐标是
3、如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若
1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1
D ．22
变式：在△ABC 中，∠A=120°，AB=3，AC=2，求BC 和sinB.
2.已知在△ABC 中，∠B=45°, ∠C=60°，AB+AC=32+23。
求BC 的长
题型：构造直角三角形求线段的长(2)
例 已知在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°。
求AB 的长 变式 1.某片绿地形状如图，其中∠A=60°，AB ⊥BC,AD ⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD,BC 的长（精确到1m,3≈1.732）
2、一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．
3、如图,ΔABC 中,CD 是中线,且CD ⊥CA,CD=3,tan ∠BCD=,求Δ
ABC 各边的长。
题型：构造直角三角形求线段的
长(3)
例 如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ，BC=)2264( m,则电线杆AB 的长为m （精确到0.1m ） 变式 1.如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB=a ，AN 平分
∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM+CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．a B ．C ． D ．
2.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH=2CH ．
（1）求sinB 的值；（2）如果CD=
，求BE 的值．
题型：构造直角三角形求角的度数
例 如图，P 为△ABC 边BC 上一点，且PC=2PB 。
已知∠ABC=45°，∠APC=60°.求∠ACB.
变式 1.如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E ，DE 的延长线交AB 于F 。
已知AB=15，DE=744,tanB=43，且S △AFE:S 四边形EFBC=1：8，求∠ADB 的度数.
2.P 是正方形ABCD 内一点，且PA=a,PB=2a,PC=3a 。
求：（1）∠APB 的大小；（2）正方形的边长.。