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大学物理-气体分子动理论


v
v1 v2 v3 … …
N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … …
速率为 vi 的概率为:
Pi
Ni N
长时间“观测”理想气体分子的速率 v :
v
0 ~ +∞ 连续分布
速率为 v → v + dv 的概率为:
Pv~vdv
dNv N
0
???
速率分布函数
Pv~vdv
dNv N
f (v)dv
f (v) dNv Ndv
刚性双原子分子的动能
分子动能
平动动能
t x
t y
t z
转动动能
r
r
t x
t y
t z
r
r
1 kT 2
t x
t y
t z
r
r
5 kT 2
温度较高时,双原子气体分子不能看作刚性分子,分子
平均能量更大,因为振动能量也参与能量均分
理想气体分子的平均能量
分子模型 刚性单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子
每个分子频繁地发生碰撞,速度也因此不断变化;
二、压强形成的微观解释
单个分子与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成,大小、位置具有 偶然性;
大量分子(整个气体系统)与器壁碰撞 气体作用在器壁上是一个持续的、不 变的压力;
压强是气体分子给容器壁冲量的 统计平均量
三、理想气体的压强公式
建立三维直角坐标系 Oxyz
vz i N
气体处于平衡态时,气体分子沿各个方向运动的机会均等。
vx vy vz
气体分子速率平方的平均值
v v1 v2 v3 … …
N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … …
v
2 x
v12x v22x
v32x … …
v
2 y
v12y v22y v32y … …
z viz vi vix
viy
O
y
v
2 z
vi
(vix, viy , viz )
x, y, z 方向规律相同,压强相同
分析 x 方向
yviy vi vOiz
vixc x b
a
z
x 方向速度分量为 vix 的分子 i 与气体分子 j 碰撞,
互换
y
Pix
Pjx
由于气体分子是全同的,而
且每次碰撞是弹性碰撞,因此气
体分子间的碰撞对结果的影响可
忽略。
N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … …
vx v1x v2x v3x … … vy v1y v2y v3y … … vz v1z v2z v3z … …
z viz vi
vix
viy
O
y
x
vx
N1v1x
N2v2x N
N3v3x
i
Nivix N
Nivix
vx i N
Niviy
vy i N
Niviz
飞机 3 ?
轮船(看作刚体): 确定质心: (x, y) 确定方向: θ
3个自由度
y y’
海面
θ O’ (x, y) x’
O
x
细棒:
y
y’
确定质心: (x, y, z)
5个自由度
确定方位: (, )
(x, y,Oz)’
x’
z’
O
x
z
飞机(看作刚体):
确定质心: (x, y, z)
确定转轴: (, )
三、气体分子速率的三种统计平均值
平均速率
气体分子的速率 v 离散分布:
v
v1 v2 v3 … …
N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … …
Nivi
v i N
气体分子的速率 v 连续分布:
dNv f (v)dv N
v
N vdNv
vf (v)dv
0N
0
对于理想气体:
f (v) 4 ( ) v e 3/ 2 2 v2 / 2kT 2kT
(n1
n2
n3
)
p 2 n
3
2 3
(n1
n2
n3
)
2 3
n11
2 3
n2 2
2 3
n3 3
p1 p2 p3
§7.4 能量按自由度均分原理
一、自由度的概念
确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。 下列物体看作质点时,自由度为多少?看作刚体时又为多少?
质点 刚体
火车 1 1
轮船 2 ?
伽耳顿板实验中粒子落入的位置 掷色子出现的点数 气体分子的速率、动量、动能等
概率 对随机变量 M 进行抽样试验:
M M1 M2 M3 … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … …
Pi
lim
N
Ni N
M 取 M i 的概率。
( N = Δ N1 + Δ N2 + Δ N3 + … )
例 掷色子出现4的概率
v12z
v22z v32z … …
x
Nivi2x
vx2 i N
Nivi2y
v
2 y
i
N
Nivi2z
vz2 i N
vi2 vi2x vi2y vi2z
Nivi2 Nivi2x Nivi2y Nivi2z
i
i
i
i
Nivi2
Nivi2x
Nivi2y
Nivi2z
i
i
i
第7章 气体分子动理论
玻耳兹曼:奥地利物理学家,统计物理学的 奠基人之一。于1868年提出麦克斯韦-玻耳 兹曼分布定律 。在 1872年从非平衡态的分 子动力学得到 H 定理 ,这是经典分子动力 论的基础。1877年提出热力学第二定律与微 观几率态数 W 的关系以及熵的统计解释。 1900年普朗克运用玻耳兹曼的理论得出 S=k lnW 并证明了斯忒藩的实验结论 u =σT4 (斯忒藩 - 玻耳兹曼黑体辐射公式),掀开 了量子时代的帷幕。
O r0
r
r0
分子有效直径
引力
二、气体分子热运动服从统计规律
每个宏观点的气体分子数量巨大; 气体分子间距很大,除碰撞外, 分子间相互作用可忽略; 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的;
一秒内一个分子大约要发生几十亿次 ( 109 ) 碰撞 气体分子的微观力学量取值无法预测,气体的宏观量稳定;
气体分子热运动服从统计规律
意义: 速率在 v 附近的单位速率区间的分子数占分子总数的 比率
速率分布函数的实质是相对概率,或者称为概率密度;
速率分布函数的归一化条件
P
N dNv
f (v)dv 1
0N
0
二、麦克斯韦速率分布律
f (v) 4 ( ) v e 3/ 2 2 v2 / 2kT 2kT
μ
分子质量
T
热力学温度
i
N
N
N
N
z viz vi vix
viy
O
y
x
即 v2 vx2 vy2 vz2
v2 vx2 vy2 vz2
气体处于平衡态时,气体分子沿各个方向 运动的机会均等。
vx2
v
2 y
vz2
1 v2 3
z viz vi
vix
O
viy
y
x
气体分子平动动能的平均值
i
1 2
vi2
1 2
vi2
1 2
Nivi2
i
N
z viz vi vix
viy
O
x
§7.2 理想气体的压强
一、理想气体的微观模型
气体分子的性质相同,质量相等,相对于分子间距大
小可忽略不计;
Ep
Ep
Ep
O r0
r
O r0
r
O
r
一般物质分子
刚性小球模型
理想气体分子
除碰撞外分子间相互作用可忽略不计,气体分子在 相邻两次碰撞间作匀速直线运动; 所有的碰撞为完全弹性碰撞;
3
3 kT
2
3p 3nkT 3 kT
2n 2n 2
理想气体的能量方程
温度的微观本质
二、道尔顿分压定律
混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。
证明: 混合气体的分子数密度
n n1 n2 n3
混合气体各组分温度相同
3 kT
2
混合气体的压强
1 2 3
p 2 n
3
2 3
P4
1 6
小球出现在第3个小槽
P3
N3 N
S3 S
概率的归一化条件
Pi
lim
N
Ni N
( N = Δ N1 + Δ N2 + Δ N3 +… )
i
Pi
lim
N
N1 N
lim
N
N2 N
lim
N
N3 N
lim N1 N2 N3 1
N
N
Pi 1
i
平均值
M M1 M2 M3 … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … …
z
vix A1 c
x
O
b
a
可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有”碰撞
x 方向速度分量为 vix 的分子 i 与 A1 碰撞,动量变化:
Pix vix (vix ) 2vix
y
对 A1 的冲量:
Iix Pix 2vix
vix A1 c
连续两次与 A1 发生碰撞的时间
O
间隔为:2a / vix
§7.1 气体分子动理论的基本概念
一、分子动理论的三个基本概念
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