第十二章 气体动理论12－1 一容积为10L 的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg 的真空，初态温度为20℃。

为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子?解：由式nkT p =，有3202352/1068.15731038.1760/10013.1100.1m kT p n 个⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==-- 因而器壁原来吸附的气体分子数为个183201068.110101068.1⨯=⨯⨯⨯==∆-nV N12－2 一容器内储有氧气，其压强为1.01⨯105 Pa ，温度为27℃，求：（l ）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。

（设分子间等距排列）分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。

因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。

又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知d n V ,10=即可求出。

解：（l ）单位体积分子数325m 1044.2-⨯==kT p n（2）氧气的密度3m kg 30.1-⋅===RT pM V m ρ（3）氧气分子的平均平动动能J 1021.62321k -⨯==kT ε（4）氧气分子的平均距离m1045.3193-⨯==n d12－3 本题图中I 、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。

试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。

分析：由M RT v /2p =可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率p v 也就不同。

因22O H M M <，故氢气比氧气的p v 要大，由此可判定图中曲线II 所标13p s m 100.2-⋅⨯=v 应是对应于氢气分子的最概然速率。

从而可求出该曲线所对应的温度。

又因曲线I 、II 所处的温度相同，故曲线I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。

解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为13P s m 100.2/2)(22-⋅⨯==H H M RT v利用16/22H O =M M 可得氧气分子最概然速率为12H P O O P s m 100.54)(/2)(222-⋅⨯===v M RT v（2）由M RT v /2p =得气体温度K1081.42/22p ⨯==R M v T12－4 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如本题图所示。

（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N 和v 0求a 值；（3）求在速率v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能.分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数()v f 的物理意义。

v N N v f d /d )(=题中纵坐标v N v Nf d /d )(=，即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数。

同时要掌握)(v f 的归一化条件，即1d )(0=⎰∞v v f 。

在此基础上，根据分布函数并运用数学方法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。

解：（l ）由于分子所允许的速率在0到2v 0的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积()Nv v Nf S v ==⎰020d即曲线下面积表示系统分子总数N 。

（2）从图中可知，在0到v 0区间内，0/)(v av v Nf =；而在v 0到2v 0区间内，a v Nf =)(。

则利用归一化条件有⎰⎰+=00020d d v v v va v v avN得03/2v N a =（3）速率在v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数为12/7d d 2/32/0000N v a v v avN v v v v =+=∆⎰⎰(4)分子速率平方的平均值按定义为习题12－3图习题12－4图⎰⎰∞∞==02022d )(/d vv f v N N v v故分子的平均平动动能为202230023631)(21210mv dv v N a dv v Nv a m v m v v vK =+==⎰⎰ε 12－5 当氢气的温度为300℃时，求速率在区间3000m/s 到3010m/s 之间的分子数ΔN 1与速率在区间v p 到v p +10m/s 之间的分子数ΔN 2之比。

解：氢气在温度T =273+300=573开时的最可几速率v p 为/2182002.057331.822秒米××===M RT v p 麦克斯韦速度分布公式可改写为 x ex NN x ∆=∆-224π则速度在3000米/秒~3010米/秒间的分子数21821021823000422182300021⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-e πNN 速度在v p ~ v p 10米/秒间的分子数e πNN ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆⎪⎭⎫⎝⎛-21821021822182422182218222 故 78021823000 221823000221 .ee N N =⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛12－6 有N 个粒子，其速率分布函数为 C NdvdNv f ==)( (v 0>v >0) 0)(=v f (v >v 0) (1) 作速率分布曲线；（2）求常数C ；（3）求粒子的平均速率。

解： （2）由归一化式⎰⎰===∞1)(v CvCdv dv v f得 01v C =（3） 2)(0v vCdv dv v vf v v ===⎰⎰∞ 12－7 根据麦克斯韦速率分布律证明：处于平均速率附近一固定小速率区间内的分子数与T 成反比。

解：由 mRTv π8=则速率分布函数可化为24322223223224)(v ev v e RT mv f v v RTmv ⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---ππππ速率在 △vv v +→ 区间内分子数∆N 为 v ev Nv v Nf N ∆⋅=∆=∆--ππ41232)(可见： 11)(--∝∝∆T v N12－8 一密封房间的体积为5×3×3m 3，室温为20℃，室内空气分子热运动的平均平动动能的总和是多少？如果气体温度升高1.0K ，而体积不变,则气体的内能变化多少？气体分子方均根速率增加多少？（已知空气的密度ρ=1.29Kg/m 3，摩尔质量M =29×10-3Kg / mol ，且空气分子可认为是刚性双原子分子。

）解：根据KT,23v m 212= ∴ NKT v m N 23212=()()()J. ×.=ρV M RT RT=M M =m N RTNm v m N mol mol A 6210317 23232321= ()()J ×. =iR △R△T M ρV =iR △R△T M M △E=mol mol 4101642121 ()()()856031221121212212s m .=T TM R =v v v mol -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆12－9 在容积为2.0⨯10-3 m 3的容器中，有内能为6.75⨯102 J 的刚性双原子分子理想气体。

（1）求气体的压强；（2）设分子总数为5.4⨯1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。

解：（1）由RT i M m E 2=和RT MmpV =可得气体压强 Pa1035.1/25⨯==iV E p（2）分子数密度n =N /V 为，则该气体的温度K1062.3/2⨯===）（Nk pV nk p T气体分子的平均平动动能为J 1049.72321k -⨯==kT ε12－10 质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gR v 2=，其中R 为地球半径。

（1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。

（取R= 6.40⨯106 m ） 分析：气体分子热运动的平均速率M RT v π/8=。

对于摩尔质量M 不同的气体分子，为使v 等于逃逸速率v ，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率。

解：（1）由题意逃逸速率gr v 2=，而分子热运动的平均速率M RT v π/8=。

当v v =时，有RMrgv RMT 482ππ==由于氢气的摩尔质量13H mol kg 100.22--⋅⨯=M ，氧气的摩尔质量12O mol kg 102.32--⋅⨯=M则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为K1089.1,K 1018.15O 4H 22⨯=⨯=T T（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。

按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。

在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。

因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。

另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。

从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。

12－11 讨论气体分子的平动动能221mv =ε的分布函数，归一化条件，及求任意函数)(εg 的平均值公式。

并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几动能。

解：在动能空间中取一小区间εεεd +-，小区间内分子数dN 占总分子数N 之比为εεd f NdN)(= 其中)(εf 为分子动能分布函数，它满足归一化条件：1)(0=⎰∞εεd f任意函数)(εg 的平均值公式：εεεεd f g g ⎰∞=0)()()(令dv kTmv v kT m dv v f d f ⋅-⎪⎭⎫⎝⎛==)2exp(24)()(222/3ππεε可求出εεεπεεd kT kT d f ⋅-⋅=)ex p()1(2)(2/3令0)(=εεd df 可得最可几动能 2kT p =ε 12－12 已知在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为v n 41。

假定一边长为1米的立方箱子，在标准情况下盛有25103×个氧分子，计算1秒钟内氧分子与箱子碰撞的次数。

解：氧分子在标准状态下算术平均速率v 425032.014.327331.888=⨯⨯⨯==M RT v π米/秒 每边长为1米的立方箱的总面积S =6⨯1⨯1=6米2 则28251091.164251034141⨯=*⨯⨯⨯=⋅=S v n N 次/秒 12－13 在标准状态下氦气（He ）的内摩擦系数η=1.89×10-5帕秒，摩尔质量M 为0.004千克，平均速率v 为1.20×103米/秒。