第七章测试题答案
一、填空（ 20 分）
1、
xy
x 2 y 2 x 3 y
x 5 是
3
阶微分方程；
2、与积分方程
y
x
y f ( x, y)
f ( x, y)dx
等价的微分方程初值问题是
；
x
0
y
x
x
0
0
、已知微分方程
y 2y y
0
，则函数
y
2 x
不是 （填“是”或“不
3
x e
是”）该微分方程的解；
4 、设 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程
y p( x) y q( x) y 0
的两个特解，
C1 , C2 为任意常数，则 y C1 y1 C2 y2
一定是该方程的
解 （填“通解”或“解” ）；
、已知 y 1、 y x 、
y
2
5
x
是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该
方程的通解为：
y
C
1 ( x2 1) C2
( x
1)
1
；
、方程 y 4 y 5y 0的通解为
y 2 x ( C1 cos x
C
2
sin )
. 6
e x
7、微分方程 y 4 y cosx 的特解可设为
y
*
A cosx
B sin x
；
8、以 x1 x2 2为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：
y 4 y 4 y
0
；
9、微分方程 y y ex 1 的特解 y* 形式为： y axex b ；
10、微分方程
y
y 4 y 4 y
0 的通解： C1ex C 2 cos2x C2 sin 2x
。
二、（ 10 分）求
y
y
x 的通解
.
x
解：由一阶线性微分方程的求解公式
1 1
y e
dx
e x xdx
C)
，
x
(
1
( x 2dx C ) 1 x 2 C
x
3 x
三、（ 10 分）求解初值问题
y
xy 0, y(0) 2
.
解：
y
xy 0
分离变量
1
dy
xdx
，
y
x
2
x
2
两边同时积分
ln y
ln C ， y
Ce 2
，
2
x
2
又由 y(0) 2，得 C 2 ，故
y
2e
2
四、（15 分）曲线的方程为 y f ( x ) ，已知在曲线上任意点 ( x, y) 处满足 y 6 x ，
且在曲线上的 (0, 2) 点处的曲线的切线方程为 2 x 3 y 6，求此曲线方程。
解：
y
6 x 得 y 3x 2 C 1 ， y x 3 C 1 x C 2
，
又由
y(0)
2, y (0)
2
知，
C
1
2
, C
2
2
，
3 3
故曲线方程为
y
x
3
2
x
2
3
x x
x
) dy
五、（ 15 分）求齐次方程
(1
2e
y ) dx 2e y
(1
0
的通解.
y
x
x
)
dx
2e y (1
y
解：原方程可化为
dy
x
，
1 2e
y
x ，则 x yu ， dx u y du
.
令
u
dy dy y
原方程变为：
u
y
du
dy
2e
u
1
分离变量，得
2eu
u
du
2eu ( u 1)
1
2e
u
dy
y
du 2eu u
即
y
1 u . dy 2e
e
u
u ) ln y ln C
两边积分得：
ln( 2
即
2e
u
u C
.
y
x
以 代入上式中的 u ，化简得方程的通解为：
y
x
2ye
y
x C
.
六、（ 15 分）求解初值问题：
y3 y
1 0
0
.
y
x 1
1, y
x 1
解：设 y p ，则
y
p dp
，代入方程得：
dy
y3 p
dp
1 0
，分离变量并积分，得：
dy
1 p2 1 y
2
1
C ，即 p
y
2
C
.
2 2
2
当 x 1 时， y 1, p 0 ，得
C
1
.
则
p
dy
y
2
1
.
dx
分离变量并积分，得：
x C1 1 y
2
由
y
x 1
1，得 C
1
1
.
则 ( x 1) 1 y2 即
y
2x x 2
.
七、（ 15 分）求方程 y 4 y 4 y 3 2x 的通解 .
解：该方程对应的齐次方程的特征方程为
r
2
5r 4
0，解得
r
4, r
2
1
1
则
Y
C e
4 x C e x
.
1 2
由于
0
不是特征根，所以设
y
*
为
y
*
ax
b
，
代入原方程，得：
a
1
,
b 11
.
2 8
所以
y
*
1 11
x
8
.
2
该二阶常系数非齐次线性方程的通解为
y Y y* C e 4 x C e
x
1
x
11
1 2
2
8
.