y 2(1 x2 ) (2x)2 (1 x2 )2
2(1 x2 ) (1 x2 )2
3. lim (sec x tan x)
x
解
2
原式

lim
x
(1 cos
x

sin cos
x x
)
2

lim
x
cos x sin x

0
2

lim
x
2002级《高数》上试题解答
一、1.求
lim
x
(4
x
2 (6
3)3(3x x2 7)5
2)4
解
(4x2 3)3(3x 2)4
lim
x
(6x2 7)5
43 34 2 65 3
2. 设 y ln(1 x2 )，求y
解 y 2x 1 x2
七、 求f (x) a2 b2 (a 0, b 0)，(0,1)上的最大值和最小值 (10分) 。 x 1 x
八、设f (t)在[0,1]上连续，证明： xf (sin x)dx f (sin x)dx，并计算 x dx（6分）.
0
20
0 1 sin x
或先求y
2x ( y xy) 2 yy 0
y 2x y x 2y
dy 2x y dx x 2y
五、已 知向量
P
同时垂直向 量Q及x
轴,
且Q {3, 6, 8}, P 2,求P(8分）
解
设P {m, n, l}
则有
mm
2
22
1 ( x2 1)arc cot x x C
2
2
2.求曲线 y x3 3x2 x 1的凹凸区间与拐点坐标 解 y 3x2 6x 1 y 6x 6 0 x 1 当x 1, y 0 y在(,1]上的图形是凸的； 当x 1, y 0 y在[1,)上的图形是凹的； 当x 1时, y 2 故(1,2)是曲线的拐点.
3. 已知平面通过两点M(3, 2, 5)及N (2, 3, 1),且平行z轴, 求它的方程
解 有很多的方法 下面采用平面的点法式方程 设所求平面方程为 A( x 3) B( y 2) 0
将N (2, 3, 1)代入方程有 A 5B 0 A 5B
则所求平面方程为 5( x 3) ( y 2) 0
x1
x 1
四、 设 y y(x)由方程 x2 xy y 2 6确定，求 dy （7 分）。




五、已知向量 P 同时垂直向量Q及x 轴，且Q {3, 6, 8}, P 2，求P(8分）。
六、 求由曲线 y x2，y x2 与y 2x所围成图形的面积（10分）。 2
二、试解下列各题（21 分）
1. 求 x arcctgxdx ； 2. 求曲线 y x3 3x2 x 1的凹凸区间与拐点坐标 ；
3. 已知平面通过两点 M (3, 2, 5)及N(2, 3,1)，且平行z轴，求它的方程 ；
三、 求极限 lim x x2 xn n（8分）。
x1
x

1

x2
1 x 1
xn

1

lim
x1
[1

(
x

1)



(
x
n1



x

1)]

n(n 2
1)
四、设 y y( x)由方程 x2 xy y2 6确定,求 dy
解 两边求微分 2xdx ( xdy ydx) 2 ydy 0
dy 2x y dx x 2y

x2 2
)dx

02(2 x

x2
)dx
七、求f ( x) a2 b2 (a 0, b 0)， x 1 x

y y

x2 , 2x

y y

x2
2 2x


x1 y1

42,

x2 y2

00,

x3 y3

4 8
y y x2 y x2
2
A

02( x2

x2 2
)dx

24(2 x

x2 2
)dx
o
x
4
y=2x
或A

04(2 x
即 5x y 13 0
三、求极限
lim
x1
x

x2
x 1
xn

n（8分）
解 lim x1
x

x2
x 1
xn

n

lim
x1
1

2
x

1
nx
n1

0
1 2 n n(n 1)
2
或
lim
x1
x

x2
x 1
xn

n

lim
2 n2 0

l
2

4
3m 6n 8l 0


m 0 m 0

ln5856或ln

6 5
8 5

P


8
j

6
k
55
六、求由曲线 y x2 , y x2 与y 2x所围成图形的 2
面积.(10分)
解 求交点
由介值定理的 x4 3x 1 0在(1,1)内至少有一实根
二、1. 求 x arc cot xdx


arc
cot
xd
(
x2 2
)

x2 2
arc
cot
x


x2 2

1

1 x2
dx

x2 2
arc
cot
x

1 2

(1

1
1 x2
)dx
x2 arc cot x x 1 arctan x C
1
sin cos x
x
2
4.
1 dx
0 ex ex


1 0
e e2
x x
dx 1

arctan( e x ) |10

arctan e

4
5. 证明：方程 x4 3x 1 0在[1，1]内有实根
证：设f ( x) x4 3x 1 在[1，1]上连续,
f (1) 5 0, f (1) 1 0
《高等数学（上）》试题
一、试解下列各题（30 分）
1. 求 lim (4x2 3)3 (3x 2)4 ； 2. 设 y ln(1 x2 )，求y 3. 求 l
x
2
4. 求 1 dx ； 0 ex ex
5. 证明：方程 x4 3x 1 0在[1，1]内有实根