.目录摘要 (2)正文一、设计目的与要求 (3)二、设计原理 (4)三、设计内容和步骤 (6)1．用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱 (6)２.对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱 (7)3. 通过低通滤波恢复原连续信号 (10)四、总结 (16)五、致谢 (17)六、参考文献 (18)摘要本实验设计的题目是：信号的采样与恢复、采样定理的仿真。
本实验主要涉及采样定理的相关内容以及低通滤波器恢复原连续信号的相关知识。
通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对抽样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。
原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来使频谱尽可能的连续，理论上当采样点数无穷多的时候频谱连续，因此尽可能增加采样点数产生连续信号的频谱。
信号采样过程中，通过采样点数的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而验证采样定理。
实验预期结果为，通过低通滤波器将采样信号恢复为原信号，本实验结果和预期结果一致一设计目的与要求1.设计目的和要求1.对连续信号进行采样，在满足采样定理和不满足采用定理两种情况下对连续信号和采样信号进行FFT频谱分析。
2.从采样信号中恢复原信号，对不同采样频率下的恢复信号进行比较分析。
3.利用MATLAB在数字信号处理中的应用，对实验结果用所学知识进行分析。
4.每人一台电脑，电脑安装MATLAB。
二 设计原理1.采样定理：（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，对其进行傅里叶变换可以发现采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率s Ω为周期进行周期性的延拓形成的。
（2）设连续信号)(t x a 属带限信号，最高截止频率为c Ω，如果采样角频率c s Ω≥Ω2，那么让采样性信号)(t x a ∧通过一个增益为T 、截止频率为2/s Ω的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号)(t x a 。
否则，c s Ω<Ω2会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。
采样过程为：对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S ，设电子开关每隔周期T 合上一次，每次和上的时间为τ（τ<<T ），在电子开关的输出端得到采样信号x^a(t)。
该电子开关的作用等效成一宽度为τ，周期为T 的矩形脉冲串)(p t T ，采样信号)(t x a ∧就是)(t x a 和)(p t T 相乘的结果。
采样过程如下图：对模拟信号进行采样2.信号的恢复：可用传输函数)(ωj G 的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号)(t f 恢复出来，只是一种理想恢复。
2)2sin()(21)(t t d e j G t g s s j ΩΩ=Ω=⎰∞∞-ωωπ因为Ts π2=ΩTt T t t g ππ)sin()(=理想低通滤波器的输入输出)(t f ∧和)(t y ，)(t y =)(t f ∧*)(t g =ττd t g t f )()(-⎰∞∞-三、设计内容和步骤1．用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱程序为f=100;t=(1:100)/2000;w=linspace(0,100,length(t));x=sin(2*pi*f*t);n=0:(length(x)-1);figure(1);subplot(2,1,1);plot(x,'K');grid on;axis([0 100 -1.2 1.2]); %横纵坐标的范围line([0,100],[0,0]); %画横坐标轴线xlabel('t/2500');ylabel('x(t)');title('连续信号');subplot(2,1,2);plot(w,abs(fft1(t,x,n)),'K'); %其对应频域信号YFT=（sin(t)）xlabel('w');ylabel('x(w)');title('其对应频域信号Y=FT（sin(t)）');grid产生图形如图1-1：102030405060708090100-1-0.500.51tx (t )连续信号1020304050607080901000204060wx (w )其对应频域信号Y=FT （sin(t)）图 1-1２.对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱x=input('输入采样点数n:'); n=0:x; a=size(n); figurec=sin(8*pi/a(2)); subplot(211); stem(n,c,'.','k');xlabel('n');ylabel('x(n)'); title('采样后的时域信号y=x(n)'); w=0:(pi/20):25*pi subplot(212)plot(w/(2*pi),abs(fft1(w,c,n)),'k'); xlabel('HZ');ylabel('幅频特性'); title('采样后的频域信号');grid当采样点数为10时，所得结果如图2-1：012345678910nx (n )采样后的时域信号y=x(n)0102030405060708090100246HZ幅频特性采样后的频域信号图 2-1当采样点数为20时，所得结果如图2-2:02468101214161820nx (n )采样后的时域信号y=x(n)HZ幅频特性采样后的频域信号图 2-2当采样点数为40时，所得结果如图2-3：0510152025303540nx (n )采样后的时域信号y=x(n)0102030405060708090100102030HZ幅频特性采样后的频域信号图 2-3当采样点数为100时，所得结果如图2-4：0102030405060708090100nx (n )采样后的时域信号y=x(n)0102030405060708090100204060HZ幅频特性采样后的频域信号图 2-4当采样点数为200时，所得结果如图2-5：020406080100120140160180200nx (n )采样后的时域信号y=x(n)010203040506070809010050100150HZ幅频特性采样后的频域信号图 2-5由采样定理可知，抽样后的信号频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成的，周期性在上面五个图可明显看出。
但是从10点、20点、40点、100点、200点采样后的结果以及与原连续信号频谱对比可以看出，10点对应的频谱出现了频谱混叠而并非原信号频谱的周期延拓。
这是因为N 取值过小导致采样角频率c s Ω<Ω2，所以经周期延拓出现了频谱混叠。
当采样点数越来越多时，其采样角频率c s Ω≥Ω2，从而实现原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，不产生混叠，从而为下一步通过低通滤波器滤出其中的一个周期奠定基础。
3.通过低通滤波恢复原连续信号[B,A]=butter(8,450/500); [H,w]=freqz(B,A,512,2000); figure;plot(w*2000/(2*pi),abs(H),’k ’); xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');title('低通滤波器'); grid;低通滤波器的频谱如图3-1:00.51 1.52 2.53 3.5x 1050.20.40.60.811.21.4Hz频率响应幅度低通滤波器图 3-1信号恢复：x=input('请输入采样点数n:'); n=0:x; zb=size(n); figurea=sin(8*pi*n/zb(2)); y=filter(B,A,a); subplot(2,1,1);plot(y); %恢复后的连续信号y=sin(t) xlabel('t');ylabel('x(t)'); title('恢复后的连续信号y=sin(t)'); grid; Y=fft1(y,512);w=(0:255)/256*500; subplot(2,1,2);plot(w,abs([Y(1:256)])); %绘制频谱图 xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度'); title('频谱图'); grid;ｎ＝10时恢复后的信号和频谱如图3-21234567891011-0.4-0.200.20.4t x (t )恢复后的连续信号y=sin(t)0501001502002503003504004505000.511.5Hz频率响应幅度频谱图图 3-2051015202530354045-2-1012t x (t )恢复后的连续信号y=sin(t)0501001502002503003504004505005101520Hz频率响应幅度频谱图图 3-3ｎ＝10０时恢复后的信号和频谱如图3-4：020406080100120-1-0.500.51t x (t )恢复后的连续信号y=sin(t)050100150200250300350400450500204060Hz频率响应幅度频谱图图 3-4050100150200250-1-0.500.51t x (t )恢复后的连续信号y=sin(t)05010015020025030035040045050050100150Hz频率响应幅度频谱图图 3-5：ｎ＝300时恢复后的信号和频谱如图3-6：050100150200250300350-1-0.500.51t x (t )恢复后的连续信号y=sin(t)05010015020025030035040045050050100150Hz频率响应幅度频谱图图 3-6经上面的五个图可以看出，随着采样点数越来越多，波形的恢复越来越好，当采样点数为300点时恢复波形与原波形相比基本一致，可以基本达到实验目的，将原输入连续信号恢复。
四总结经过此次试验，我感到获益良多，试验中我对采样定理的理解与应用，遇到问题后解决问题的能力都有了很大的提高，以及我对MATLAB的使用，一些关于矩阵的知识，程序的编写和函数的调用有了更深的掌握和理解，这一次课程设计，我对设计滤波器的原理和方法有了更系统的认识，而且也加深了对以前学的的一些知识的理解，把所学的都串联在一起，虽然这次课程设计花了很长时间，但是收获还是挺大的，不管是学习还是做事方面都领悟到了一些道理，以后学习也一定要注重实践，同时也认识到，和同学的团结协作可以明显提高解决问题的效率。