第二章 波函数和 Schrodinger 方程§1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。

简言之:波函数完全描述微观粒子状态(一）波函数描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。

此式称为自由粒子的波函数。

如果粒子处于随时间和位臵变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：，它通常是一个复函数。

如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释：如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位臵r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。

exp ()iA Et ⎡⎤ψ=∙-⎢⎥⎣⎦p r (,)t ψr (,)t ψr()2,,,dW x y z t dV=ψ概率密度/dW dV所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。

波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。

波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。

由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。

玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。

玻恩假定： 描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而 则表示概率密度例题1：电子的自由平面波波函数在空间各点发现光子的概率相同 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流干涉花样取决于概率分布，而概率分 布是确定的。

(2)入射弱电子流入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间将显示衍射图样。

电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子波动(,)t ψr (,)t ψr ()()()2*,,,t t t ψ=ψψr r r (),exp ()i t A Et ⎡⎤ψ=∙-⎢⎥⎣⎦r p r ()2,t ψ=r常数性的结果。

波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念物质波粒二象性的两种错误的看法 错误之一: 波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。

这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上照样呈现出衍射花纹。

这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。

在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数目， ~正比于该点附近出现的电子数目， ~正比于电子出现在 r 点附近的几率。

哥本哈根学派--爱因斯坦 著名论战玻尔、波恩、海森伯、费曼等 狄拉克、德布罗意等波函数的概率解释是自然界的终极实质量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解释。

上帝不会掷骰子--爱因斯坦波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

错误之二: 粒子由波组成“电子是波包。

”把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。

因此呈现出干涉和衍射等波动现象。

波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。

平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。

如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。

例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å。

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，或者说既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。

”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。

粒子的经典概念：1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位臵和速度。

波的经典概念：1. 物理量在的空间分布作周期性的变化;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。

注意:量子力学中，波函数不是可观测量，不具有可观测效应，只有力学量或者物理量才可观测，至于哪些量可以成为力学量，没有先验的规则，只有通过实验来判断。

上面讲到的统计解释实际上是测量粒子位臵这个力学量的几率分布. 波函数不具有可观测效应的特性导致物质波与经典波有着本质上的区别.思考题: 1. 物质波与经典波有什么区别?2. 自然界中存在自由粒子吗?3.干涉花样是由大量电子通过双缝到达感光屏的, 能分辨出他们是经哪个缝到达感光点的吗?4.感光点的出现意味着电子到达一确定点, 如何理解具有波动性的电子具有确定位臵.（三）波函数的性质（1）几率和几率密度根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：在 t 时刻, r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：dW(r,t) =C|Ψ(r,t)|2 dτ，其中，C是比例系数。

在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：w( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ(r,t)|2称为几率密度。

在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：W(t) = ∫V dW = ∫V w( r, t ) d τ= C ∫V |Ψ (r,t)|2 d τ（2） 平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫|Ψ (r , t)|2 d τ= 1, 从而得常数 C 之值为：C = 1/ ∫ |Ψ (r , t)|2 d τ。

这即是要求描写粒子量子状态的波函数 Ψ 必须是绝对值平方可积的函数。

若∫ |Ψ (r , t)|2 d τ → ∞, 则 C → 0, 这是没有意义的。

注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。

关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。

（3）归一化波函数Ψ (r , t ) 和 C Ψ (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。

因为在 t 时刻，空间任意两点 r 1 和 r 2 处找到粒子的相对几率之比是： 。

可见，Ψ (r , t ) 和 C Ψ (r , t ) 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。

由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r , t) 和 C Ψ (r , t)描述同一状态。

这与经典波不同。

经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。

经典波无归一化问题。

(,)exp ()it A Et ⎡⎤ψ=∙-⎢⎥⎣⎦r p r221122(,)(,)(,)(,)C t t C t t ψψ=ψψr r r r（3）归一化常数若 Ψ (r , t ) 没有归一化，∫ |Ψ (r , t )|2 d τ= A （A 是大于零的常数），则有∫ |A -1/2 Ψ (r , t )|2 d τ= 1 。

也就是说，A -1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，与Ψ (r , t )描写同一几率波， A -1/2 称为归一化因子。

注意：对归一化波函数仍有一个模为一的相位因子不定性。

若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末，exp{ i α }Ψ（r , t )也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波.这是波函数一种变换不变性, 即一种对称性,具有重要意义。

例：一维运动的粒子被束缚在0<x <a 的范围内，已知其波函数为求：(1)常数A ；(2)粒子在0到a /2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件解得(2)粒子的概率密度为粒子在0到a /2区域内出现的概率(3)概率最大的位臵应该满足即当时，粒子出现的概率最大。

因为0<x<a ，故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。

（4）平面波归一化()axA x πsin =ψ1sin 0222==ψ⎰⎰∞∞-a dx axA dx π212a A=A =axa π22sin 2=ψ21sin 22/022/02==ψ⎰⎰dx axadx a a π02sin 22==ψax a dx d ππ2,0,1,2,x k k aππ==±±Ⅰ 定义： Dirac δ—函数或等价的表示为：对在x=x 0 邻域连续的任何函数 f （x ）有：δ—函数 亦可写成 Fourier 积分形式：令 k=p x / , dk= dp x / , 则 δ—函数性质：Ⅱ 平面波归一化其中 表示t=0 时的平面波写成分量形式考虑一维积分若取 A 12 2π =1，则 A 1= [2π]-1/2, 于是 ⎩⎨⎧=∞≠=-0000)(x x x x x x δ)0(1)()(0000>=-=-⎰⎰∞∞-+-εδδεεdx x x dx x x x x )()()(00x f dx x x x f =-⎰∞∞-δ)(0021)(x x ik e dk x x -∞∞-⎰=-πδxx x p idp e x x x )(0021)(-∞∞-⎰=- πδ)()(x x δδ=-)(||1)(x a ax δδ=)()()()(000x x x f x x x f -=-δδ()01()2x xip p x x x x x p x p x p p edxδπ'∞--∞''⇔⇔-=⎰作代换：，，则[](,)()ii Et Et t Aee∙--ψ==Φp r p p r r[][][][]123()()()()x y z x y z iiiip x p y p z p p p Ae x y z Ae A eA e∙Φ==ΦΦΦ=p r p r()Φp r dx t x t x x xp p ),(),(*ψψ'∞∞-⎰dxx x ex x x x p p t E E i)()(*][ΦΦ='∞∞--'⎰dxx x ex x x xp p t p p i )()(*]22[22ΦΦ='∞∞--'⎰μμ dx x x x x p p )()(*ΦΦ'∞∞-⎰dx eAx p p ix x ][21'-∞∞-⎰=)(221x x p p A '-=δπ )(x x p p '-=δx p ip x x e xπ21)(=Φ平面波可归一化为 Ⅲ 三维情况：归一化因子为 其中 注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。