∞
2
∫ψ
2
dτ = A 2 ∫ dτ = ∞ 这样 C 为零，显然没有意义。
∞
例：假如粒子只在一维空间运动，它的状态可以用波函数
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ − i Et π h sin x ⎪ Ae a ⎩
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
在 t=0 时函数曲线如图， 来描述， 式中 E 和 a 分别为确定的常数， 而 A 为任意常数，求 ⑴ 归一化波函数； ⑵ 几率函数（几率密度） w ； ⑶ x, x 的值。 解 ⑴ 在一维空间里
ih
r r ∂ ˆ ψ (r ψ (r , t ) = H , t) ∂t
2.3-1 [*]有量子力学第三原理的说法
若含有状态参量,则方程只能被粒子的部 分状态所满足.而不能被各种可能的状态 所满足.
——波函数随时间变化的规律
ˆ ——为哈密顿算符 式中 H
2.3.1 S-eq 的建立 1． 方程是线性的 2． 这个方程的系数不应包含状态参量（如：动量、能量等） 3． ——在量子力学中微观体系的运动状态是用一个波函数描述，所以，反映微观粒子运动规律的波 函数ψ ( r , t ) 应是对时间的一阶微分方程；
2． 三维情况
∫
∞
−∞ ∞
C ( p )e
i
p x h
dp
（2.2-2）
x
∫
−∞
ψ ( x )e
−i
p
dx
1r r i p⋅ x ⎧ r ∞ r 1 C ( p, t )e h dp x dp y dp z ⎪ψ (r , t ) = (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎪ ⎨ i r r − p.r ∞ r r 1 ⎪C ( p h = , t ) ψ ( r , t ) e dxdydz ⎪ (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎩
（ⅱ）与（ⅴ）比较得
（ⅴ）
ih
∂ψ p ∂t
=−
h2 2 ∇ψp 2μ
体系处于ψ 状态
2
也是微观体系的可能状态。
则它部分地处于ψ 1 ，ψ 2 态中 因为
2 2
ψ
= C1ψ 1 + C 2ψ
2
= (C1ψ 1 + C 2ψ ) (C1ψ 1 + C 2ψ )
* 2 * * * + C1*C 2ψ 1*ψ 2 + C1 C 2 ψ 1ψ 2
= C1ψ 1 + C 2ψ
（2.2-1）
记为：
6
∇ 2ψ p = − −
p2 ψp h2
式中 ∇ 为劈形算符，且 ∇ =
（ⅲ）
动量
∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
因为对自由粒子的能量和却是的关系式：
E=
p2 2μ
（ⅳ）
将（ⅲ）式两端除 2 μ ， μ 是粒子的质量 所以
h2 2 − ∇ ψ p = Eψ p 2μ
ψ ( x, y , z , t ) = CΦ ( x , y , z , t )
代入（2.1）中显然成立
dW = C Φ (r, t ) dτ = ψ ( x, y, z , t ) dτ
由（2.2）得几率密度
2
2
（2.5）
w( x, y, z , t ) = ψ ( x, y, z , t )
则（2.3）改为
2
Fig 2.1
2
∞
∫ ψ ( x, t )
a
2
dx = 1
亦
∫
由ψ ( x, t ) 的表达式得
i − Et h
0
−∞
ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx = 1
2 2 2 0 a
−∞
A
即
2
∫
A
0
(e
sin
π
a
x)(e
i Et h
ห้องสมุดไป่ตู้
sin
∞
∫ψ
2
dτ = A > 0
∞
∫
ψ (r )
A
2
dτ = 1 ，
1 A
称为
归一化因子 2． 波函数的归一化 根据波函数的统计解释，粒子（不产生，不湮灭）在空间各点的几率之总和为一，即（2.2）波函数 应满足的条件
1
C=
1
∞
∫ Φ ( x , y , z , t ) dτ
2
（2.4）
——这称为波函数的归一化条件。 由于波函数乘上一个常数后不改变在空间找到粒子的几率，所以将上式开方后乘 Φ ，并用ψ 表示， 即
（2.2-2） ‘
3． 物理意义 ——任意波函数可以展成平面波的迭加
ψ ( r , t ) − − − − − − − − − − − − − − − − − −− → C ( p, t )
坐标表象下的波函数 动量表象下的波函数
r
r
注：波函数可选定一 特殊的表象来描述
5
§2.3 薛定谔方程（Schrödinger-equation）
式中
付里叶变换 付里叶逆变换
∫
∞
−∞
f ( x)dx 存在， f ( x ) 在 ( −∞,+∞ ) 内分段光滑（即只有第一类间断点）
1/ 2
在上式中取 F (λ ) → ( 2π )
F (λ ) ，则
∞ 1 ⎧ ( ) = f x F (λ )e iλx dλ 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎪ ⎨ ∞ 1 ⎪ F (λ ) = f ( x)e −iλx dx 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎩
以上积分用分部法积分
3． 相对几率密度 ——几率的大小只与空间不同位置几率密度的相对大小有关。 波函数的三种等价形式，设
ψ1
r
ψ2
r r
ψe iδ (δ是实常数）
设波函数是 Cψ ( r ) 的情况下，在空间 r1 点与在空间 r2 点的相对几率是
r 2 r 2 cψ (r1 ) ψ (r1 ) r 2 = r 2 cψ (r2 ) ψ (r2 )
π
a
x)dx = 1
A2 ∫ sin
0
A
π
a
xdx = 1
积分后有
A2 ⋅
所以归一化因子
a =1 2
A=
则归一化波函数为
2 a
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ 2 − i Et π h sin x ⎪ e a ⎩ a
解⑵ 几率函数（几率密度） w ；
⎧0 ⎪ w( x) = ψ ( x, t ) = ⎨ 2 2 π sin x ⎪ a ⎩a
∂ψ p
或
i = − Eψ P ∂t h
记住后面要用。
ih
∂ψ p ∂t
= Eψ P
（ⅱ）
将（ⅰ）的两边对 x 求二次偏导，得到
∂ 2ψ p ∂x 2
=A
rr ∂ 2 Et − p ⋅r e ∂x 2
[
]
or
2
∂ψ p ∂x
∂ 2ψ p ∂x 2
=
i p xψ p h
− ih
∂ψ p ∂x
= p xψ p
dW = C Φ (r, t ) dτ
注：C 是比例常数， Φ 是复函数，且 Φ (r , t ) = Φ (r , t )e
三层含意：
iθ
2
（2.1）
——在某时刻在空间 dτ 范围内发现粒子的几率。且 Φ (r , t ) = Φ * (r , t )Φ (r , t ) ，由（2.1）得
2
w( x, y, z , t ) =
找到几率最大，求解并进行分析，可知 x=2/a 处到粒子的几率最大。 ⑶ x, x 的值。
2
x = ∫ xψ ( x, t ) dx =
2
−∞
∞
π a 2 a x sin 2 xdx = ∫ a 0 a 2
3
x 2 = ∫ x 2 ψ ( x, t ) dx =
2
∞
−∞
2 a 2 a3 a2 2 π x sin x dx = − a ∫0 a 3 2π 2
ψ p = Ae
i ( k ⋅r −ωt )
= Ae
i ( P⋅r − Et ) h
2.0
3． 一般情况下→波函数与哈密顿（Hamilton）量对应
H → ψ (r , t )
是微观粒子波粒二象性的表现。 （2） 波函数统计解释 * 1． 波恩对波函数的统计解释 （量子力学的基本原理之一） ——波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例 （3） 数学描述 1． 位置几率密度
dW 2 = C Φ (r.t ) dτ
2
（2.2）
——在 t 时刻在（x,y,z）点附近找到粒子的几率，叫位置密度。
∞
∫ dW = C ∫ Φ(r, t )
∞
dτ = 1
（2.3）
——在整个空间中粒子出现的几率，这称为波函数的归一化条件。 注： *重要的是相对几率，见曾谨言P27； **波函数的归一化条件相当于波函数的平方可积条件
量子力学基本假定之 一 是微观粒子波粒二象性的表现。
r
r
r
a
λ
=n
n=1,2,3……
Fig 2.1 经典波迭加
2
特点：①波迭加；②线性迭加；③有条件迭加。 （2） 量子力学中的态迭加原理 1． 两个量子态迭加 若 则 若
ψ 1 ，ψ 2 是微观体系的可能状态（以双狭缝为例，教材P14）
ψ = C 1ψ 1 + C 2ψ