天一大联考 2017—2018学年高二年级阶段性测试(三) 数学(理科)
第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若(12)(2)iai的实部与虚部相等，则实数a（ ）
A．-2 B．23 C．2 D．3 2. 对于小于41的自然数n，积(41)(42)(54)(55)nnnn等于（ ） A．1555nA B．1455nA C．4155-nnA D．1555nC 3. 若cossinzi (i为虚数单位)，则使21z的值可能是（ ） A． 0 B．2 C． D． 2 4. 若函数32()fxaxbxcxd有极大值点1x和极小值点212()xxx，则导函数()fx的大致图象可能为（ ）
A． B． C. D． 5. 用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（ ） A．等腰三角形的顶角不是锐角 B．等腰三角形的底角为直角 C. 等腰三角形的底角为钝角 D．等腰三角形的底角为直角或钝角 6. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有 16种，则小组中的女生人数为（ ） A．2 B．3 C. 4 D．5 7. 观察下面的三个图形，根据前两个图形的规律，可知第三个图中x（ ）
A． 9 B． 60 C. 120 D．100 8. 在64(1)(1)xy的展开式中，mn称为mnxy项的次数，则所有次数为3的项的系数之和为（ ） A．(0)(2)2(1)fff B． (0)(2)2(1)fff C. (0)(2)2(1)fff D．(0)(2)2(1)fff 9. 函数()fx在R上存在导数，若(1)()0xfx，则必有（ ） A．(0)(2)2(1)fff B． (0)(2)2(1)fff C. (0)(2)2(1)fff D．(0)(2)2(1)fff 10. 在某种信息的传输过程中，用6个数字的一个排列〔数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息100110至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A．22 B．32 C. 42 D．61 11. 老师和甲、乙两名同学都知道桌上有6张扑克牌红桃3红桃6、黑桃5、黑桃A、方块10、梅花6.老师从中挑选一张,将这张牌的花色告诉甲同学,将牌上的点数告诉乙同学随后发生了下面一段对话 甲:“我不知道这张牌是什么” 乙:“我本来也不知道这张牌是什么,但是听了你说的话,我就知道了.” 甲:“现在我也知道了,” 根据他们的对话,这张牌是 A．红桃3 B． 红桃6 C. 黑桃A D．梅花6 12. 已知函数3()12fxxx，若()fx在区间(2,1)mm上单调递增，则实数m的取值 范围是（ ） A．11m B． 11m C. 11m D．11m 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 由曲线2cos2xy，坐标轴及直线2x围成的图形的面积等于 ． 14. 对偶数构成的数列2,4,6,8,10,…进行如下分组：第一组含一个数2；第二组含两个数4,6；第三组含三个数8,10,12；第四组含四个数14,16,18,20.……试观察猜想每组内
各数之和()()fnnN与组的编号数n的关系式为 ． 15. 已知某质点的位移s (单位：m)与时间t (单位：,1,5st)的关系式为321(0)32t
sbttb，则该质点的瞬时速度的最小值为 /ms.(用含有b的式
子表示) 16.图中共有 个矩形.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设复数222(34)zaaaai （其中aR). （Ⅰ）若复数z为纯虚数，求a的值； （Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点在第二或第四象限，求实数a的取值范围. 18. 已知二项式(2)(,1)naxaRnNn且 （Ⅰ）若6n，展开式中含2x项的系数为960，求a的值； （Ⅱ）若展开式中各项系数和为103，且12na，求展开式的所有二项式系数之和. 19.是否存在正整数m，使得对任意正整数,()(27)3nnfnnm都能被36整除？若存在，求出m的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由. 20. 某商场根据销售某种商品的经验发现,该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3ayxx，其中36x，a为常数.已知销售
价格为5元/干克时，每日可售出该商品11千克. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，则销售价格为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大？ 21.对于函数32()(0)fxaxbxcxda，设()fx是函数()fx的导数()fx是()fx
的导数，若方()0fx有实数解0x，则称点00(,())xfx为函数()fx的“拐点”. （Ⅰ）证明：三次函数的拐点是其图象的对称中心(提示：可将函数32()fxaxbxcxd
化为 3()()()fxaxpqxpr
的形式)
（Ⅱ）若设32()26+5fxxxx，计算1240344035()()()()2018201820182018ffff的值. 22.设()xfxaea，2()gxaxx，其中0a. （Ⅰ）证明()()fxgx； （Ⅱ）设函数()()()2Fxfxgxax，若()Fx在R上单调递增，求a的值. 天一大联考 2017—2018学年高二年级阶段性测试(三) 数学(理科)•答案 一、选择题 1-5: BABCD 6-10: ADCAC 11、12：BD 二、填空题 13. 142 14. 3()fnnn 15. 2b 16.45 三、解答题 17.【命题意图】本题考査复数的基本概念和几何意义.
【解析】（Ⅰ）因为复数z为纯虚数，所以2220,340,aaaa所以2a.
（Ⅱ）因为z对应的点在第二或第四象限，所以2220,340,aaaa或2220,340,aaaa 解不等式组得a或24a， 即a的取值范围是(2,4). 18.【命题意图】本题考查二项式定理的应用. 【解析】（Ⅰ）6(2)ax的展开式通项为662rrrrCax， 令2r，得2464960Ca， 解得2a （Ⅱ）因为展开式中各项系数和为103，所以1052(2)39243na, 故10n或5n或2n，又因为12na，所以7a，5n, 所以展开式的所有二项式系数之和为5232. 19.【命题意图】本题考查归纳推理和数学归纳法. 【解析】由()(27)3nfnnm，得(1)27fm，(2)99fm， (3)1327fm，(4)1581fm.要使得()(27)3nfnnm对1,2,3,4n都能
被36整除，最小的正整数m的值为9， 由此猜想最小的正整数m的值为9，即()(27)39nfnn. 下面用数学归纳法证明： （1）当1n时，显然成立. （2）假设nk时，()fk能被36整除，即()(27)39kfkk能被36整除. 当1nk时，112(1)7393(27)3918(31)kkkkk， 由于131k是2的倍数，故118(31)k能被36整除. 这就是说，当1nk时，()fn也能被36整除. 由（1）（2）可知对一切正整数n都有()(27)39nfnn能被36整除，m的最小值为9. 20.【命题意图】本题考查函数模型，导数与函数的实际应用. 【解析】（Ⅰ）因为当5x时，11y，所以10112a，2a. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量为2210(6)3yxx. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 222()(3)10(6)210(3)(6)3fxxxxxx
，36x，
从而2()10(6)2(3)(6)30(4)(6)fxxxxxx. 于是，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6)
()fx + 0 -
()fx 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，当4x时，函数()fx取得极大值，也是最大值，所以，当4x时，函数()fx取得最大值且最大值等于42，故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 21.【命题意图】本题考查导数的计算和逻辑推理能力. 【解析】（Ⅰ）对于三次函数32()fxaxbxcxd，2()32fxaxbxc， ()62fxaxb，令()0fx，得3bxa.
又33222()()()()3333273bbbbbbcfabcddaaaaaa， 所以()fx的拐点为322,3273bbbcdaaa. 因为32322()333273bbbbbcfxaxcxdaaaaa 则()fx的图象可由23()3bgxaxcxa的图象按向量322,3273bbbcdaaa平移得到， 而()gx是奇函数，图象关于点(0,0)对称，所以()fx图象关于点322,3273bbbcdaaa对称. 即三次函数的拐点是其图象的对称中心. （Ⅱ）由题意得2()6125fxxx，所以()1212fxx，令()0fx，得1x， 所以()fx的拐点为点(1,1)， 即()fx的对称中心为(1,1). 所以，若122xx，则12()()2fxfx，