河南省天一大联考2019-2020学年 高二下学期线上联考试题（理）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
21i
i
-+＝ A.－2＋2i B.－1＋i C.－1－i D.2＋2i
2.
=⎰
A.
2
π
B.π
C.2π
D.4π 3.利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n ＋1)(n ∈N *
)时，第一步应证明 A.f(2)＝1＋2 B.f(1)＝1 C.f(1)＝1＋2＋3 D.f(1)＝1＋2＋3＋4 4.已知数列{a n }是等差数列，且a 6＝6，a 10＝8，则公差d ＝ A.
12 B.2
3
C.1
D.2 5.已知函数f(x)＝ax 2
＋b 的图像开口向下，()()
lim
4x f a x f a x
∆→+∆-=∆，则a ＝
B.
C.2
D.－2
6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位。
现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植
在邪田，一年后，每棵果树都有60kg 的果子收成，则此圭田中的收成约为 A.25kg B.50kg C.1500kg D.2000kg 7.根据右侧的程序框图，输出的S 的值为
A.1007
B.1009
C.0
D.－1
8.在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在y 2
＝4x 与
y ＝－x 上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅u u u r u u u r
＝
A.－16
B.0
C.16
D.32
9.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，这些数叫做三角形数。
设第n 个三角形数为a n ，则下面结论错误的是 A.a n －a n －1＝n(n>1) B.a 20＝210 C.1024是三角形数 D.
123111121
n n a a a a n +++⋅⋅⋅+=+ 10.已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y 1＝1x (x>0)，y 2＝x ，y 3＝1
4
x ，则阴影部分的面积为
A.1＋ln2
B.ln2
C.1
D.2
11.在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，BD
，cos ∠BAC ＝
1
4
，则
AD＝
D.
2
12.已知方程3x2
－＋a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f(x)＝x(x－1)(x＋1)在x＝x1与x ＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|
，则z＝。
14.某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图。
当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有户。
15.若x，y满足约束条件
5
5
25
x y
x y
x y
+≤
-≥-
-≤
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，则z＝2x＋y的最大值为。
16.函数f(x)是连续的偶函数，方程f(x)＝0仅有两个实根±1，且当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时f'(x)>0恒成立，则不等式xf(x)<0的解集为。
三解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知函数f(x)＝
sin cos
sin cos
x x
x x
+
-。
(I)若f(x)＝3，求tanx；
(II)证明：f'(x)＝
2
sin21
x-。
18.(12分)
在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD折起，使得A点到
P点的位置，PC＝
(II)M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM//平面PCD。
19.(12分)
已知a，b，c，d为实数。
(I)证明：a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－d)＋d(d－a)≥0；
(II)若ab＋bc＋cd＋da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1。
20.(12分)
已知函数f(x)＝(ax2＋bx)e x。
(I)若x＝0是f(x)的一个极值点，求实数b的值；
(II)若a＝2，b＝3，求f(x)在区间[－2，0]上的最值。
21.(12分)
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中
点的横坐标为3
2
，|AB|＝5。
(I)求抛物线C的方程；
(II)若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程。
22.(12分)
已知函数f(x)＝elnx－ax＋1。
(I)讨论f(x)的单调性；
(II)若a>0，且对任意的x∈[1，e]，都有f(x)<a，求a的取值范围。