xx 届高考理科数学模拟测试试题（xx.3.3）一. 选择题（每小题5分，共60分）1．复数z i +在映射f 下的象是z i g ，则12i -+的原象是（ ） A ． 13i -+ B. 2i - C. 2i -+ D. 2 2．已知随机变量2(3,2)N ξ-，若23ξη=+，则D η=（ ） Ａ.0 B.1 C.2 D.43.已知α、β是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：//αβ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA =，PB PC ==一点O 到点P 、A 、B 、C 等距离d 的值是 ( ) AB．5. 已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标均满足不等式组4325022010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则cos POQ ∠的最小值等于( )A．2 B．2 C ．12D ．0 6.已知(,1)AB k =u u u r ，(2,4)AC =u u u r 若k 为满足||4AB ≤u u u r的一随机整数，则ABC ∆是直角三角形的概率是 ( )A ．17B ．27C ．37D ．477. 数列{}n a 满足：112a =，215a =且1223111n n n a a a a a a na a +++++=L 对于任何的正整数n 成立，则1297111a a a +++L 的值为（ ） A ．5032 B ．5044 C ．5048D ．50508.若函数()f x 的导数是()(1)f x x x '=-+，则函数()(log )a g x f x =(01)a <<的的单调递减区间是 ( )A ．[1,0]-B ．1[,),(0,1]a +∞C ．1[1,]a D ．11(,],[,)a a-∞+∞ 9. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的坐法种数是( ) A ．234 B ．346 C ．350 D ．363 10. 若21lim()111x a bx x →-=--，则常数a 、b 的值为( ) A ．2,4a b =-= B ．2,4a b ==- C ．2,4a b =-=- D ． 2,4a b ==11.曲线1y =24y kx k =-+有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5(0,)12 B ．53(,]124C ．3[,)4+∞D ．3(0,]412．函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大值与最小值依次为M 、N ，则（ ） Ａ．2M N -=Ｂ．2M N += Ｃ．4M N -=Ｄ．4M N +=二、填空题：(每小题4分，共16分)13.已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=，设1F 、2F 分别为左、右焦点，若2||3PF =，则1||PF = .14.如图，在ABC ∆中，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，则用a r 、b r表示AP u u u r 的式子为 .15.柱，则这个正三棱柱的体积是 . 16.曲线1C =上的点到原点的距离的最小值是 .C ABP QR三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 17.(本小题满分12分)已知向量(cos ,sin )(0)OA λαλαλ=≠u u u r ，(sin ,cos )OB ββ=-u u u r，其中O 为坐标原点.（1）若6πβα=-，求向量OA u u u r 与OB uuur 的夹角.（2）若||2||BA OB ≥u u u r u u u r对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围.18．(本小题满分12分)最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万全部用来买股票，据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为12. 第二种方案：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应该将10万全部用来买基金，据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能亏损10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、15、15. 第三种方案：：李师傅的妻子认为，投资股市、基金均有风险，应该将10万全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对上述三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.19．(本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若1MA AF λ=u u u r u u u r，2MB BF λ=u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值.20．(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，2BC AC ==，14AA =，D 为棱1CC 上的一动点，M 、N 分别为ABD ∆、11A B D ∆的重心.（1）求证：MN BC ⊥；（2）若二面角C AB D --的大小为，求点1C 到平面11A B D 的距离.（3）若点C 在ABD ∆上的射影正好为M ，试判断点1C 在11A B D ∆上的射影是否为N ，并说明理由．ACBA 1B 1D MNC 121．(本小题满分12分)已知()f x 是定义在上的奇函数，当(0,]x e ∈时，()ln f x ax x =+，(0,)a a R <∈. （1）求()f x 的解析式；（2）求实数a ，使得当[,0)x e ∈-时，()f x 的最小值是3.（3）设ln ||()||x g x x =，[,0)(,]x e o e ∈-U ，求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+．22. (本小题满分14分)已知2()(12)(12)(12)nn f x x x x =+++L .（1）设()n f x 展开式中x 项的系数为n a ，求n a ；（2）设()n f x 展开式中2x 项的系数为n b ，求证：112n n n n b b a ++=+；（3）是否存在常数a 、b ，使18(21)(2)3n n n b a b -=-+对一切2n ≥，n N *∈恒成立？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由参考答案一. 选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：(每小题4分，共16分)13、5；14、2477AP a b=+u u u r rr15、16三、解答题17、（1）当0λ>时，向量OAu u u r与OBuuu r的夹角为3π当0λ<时，向量OAu u u r与OBuuu r的夹角为23π（2）||2||BA OB≥u u u r u u u r对任意α、β恒成立，即212sin()4λλβα++-≥对任意α、β恒成立，所以2214λλλ>⎧⎨-+≥⎩或2214λλλ<⎧⎨++≥⎩，解得3λ≥或3λ≤-，故所求实数λ的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞U。
18、若按方案一，设收益为ξ万元，则其分布列为114(2)122Eξ=⨯+-⨯= (万元)若按方案二，设收益为η万元，则其分布列为312(1)155Eη=⨯+-⨯=(万元)若按方案三，收益104%(15%)0.38y=⨯⨯-=(万元)E E yξη=>，又22211()1641922D E Eξξξ=-=⨯+⨯-=22318()411555D E Eηηη=-=⨯+⨯-=，可知D Dξη>，这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥，所以建议李师傅家选择方案二投资较合理。
19、（1）椭圆的方程为2215xy+=（2）设点A 、B 、M 的坐标分别为22110(,),(,),(0,)x y x y y ，易知点F 的坐标为(2,0)，将A的坐标代入椭圆方程得2211010550y λλ++-=，同理可得2222010550y λλ++-=，则12,λλ是方程22010550x x y ++-=的两根，故1210λλ+=-（定值）。
20、（1）连结DM 、DN 并延长，分别AB 、A 1B 1交于点P 、Q ，连结PQ ，1PQ BB MN P P 1BB BC ⊥Q ，MN BC ∴⊥（2）CPD ∠即为二面角C AB D --的平面角，1C 到平面11A B D （3）1C 在平面11A B D 的射影为N 。
21、（1）ln(),[,0)ln ,(0,]ax x x e ax x x e --∈-⎧⎨+∈⎩（2）1()ax f x x -'=，当1e a ≤-即10a e-≤<时，由于[,0)x e ∈-，则()0f x '≥，故函数()ln()f x ax x =--在[,0)e -上单调递增，所以min ()()1f x f e ae =-=--，由14ae --=得41a e e =-<-（舍去）；当1e a >-即1a e<-时，函数()ln()f x ax x =--在1[,)e a -上递减，在1(,0)a 上递增，所以min 11()()1ln()3f x f a a==--=，得2a e =-综上可知，存在实数2a e =-，使得当[,0)x e ∈-时，()f x 的最小值是3. （3）因为|()|f x 与()g x 都是偶函数，所以只要证明[,0)x e ∈-时，1|()|()2f xg x >+成立即可，证明如下：当[,0)x e ∈-且1a =-时，()ln()f x x x =---，ln()()x g x x-=-， 设ln()1()2x h x x -=+-， Q 11()1x f x x x+'=--=-，()f x 在[,1)e --上递减，在(1,0)-上递增∴min ()(1)10f x f =-=>，则min |()|1f x =又Q 2ln()1()x h x x--'=，∴当[,0)x e ∈-时()0h x '≤，()h x 递减∴max 11()()2h x h e e =-=+，而max 11()12h x e =+< 故当[,0)x e ∈-时，1|()|()2f xg x >+22、（1）2122222n n n a +=+++=-L（2）设2()1n n n f x a x b x =+++L ，则2111()1n n n f x a x b x +++=+++L ， 又211()(1)(12)n n n n f x a x b x x ++=++++L ∴112n n n n b b a ++=+（3）假设存在,a b 满足题设条件，则228(21)(2)3b a b =-+，即2348a b b += 2338(21)(2)3b a b =-+，即3388a b b +=由22()168f x x x =++得226,8a b ==从而356b =代入上式得1,1a b ==-；猜想18(21)(21)3n n n b -=--，以下用数学归纳法证明从略。