2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为
(A) (B) (C)(D)
2．已知集合={0,1,2}，则集合中元素的个数是
(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9
3．已知函数为奇函数，且当时，，则
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2
4．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为
(A) (B) (C)(D)
5．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为
(A) (B) (C)0 (D)
6．在平面直角坐标系xoy中，为不等式组所表示的区域上一
动点，则直线斜率的最小值为
（A）2 （B）1 （C）（D）
7．给定两个命题，.若是的必要而不充分条件，则是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
8．函数的图象大致为
9．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的
方程为
（A）（B）（C）（D）
10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A）243 （B）252 （C）261 （D）279
11．已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点。
若在点处的切线平行于的一条渐近线，则
（A）（B）（C）（D）
12．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为
（A）0 （B）1 （C）（D）3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．执行右图的程序框图，若输入的的值为0.25，则输出的n的值为_____.
，使得成立的概率为______. 15．已知向量与的夹角为°，且，，若，且，
则实数的值为__________.
否
是
开
输入
输出
结
16．定义“正对数”：现有四个命题：
①若，则；
②若，则
③若，则
④若，则
其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）设△的内角所对的边分别为，且，，。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。
18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，平面，
，分别是的中点，,与交于点，与交于点，连接.
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值。
19．（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）分别求甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布
列及数学期望。
20．（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，且，
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列前n项和为，且（为常数）.令
.求数列的前n项和。
21．（本小题满分13分）设函数（=2.71828……是自然对数的底数，）.
（Ⅰ）求的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数。
22．(本小题满分13分) 椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，试
证明为定值，并求出这个定值.
参考答案
一、选择题
1．D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得，所
以，选D.
2．C【解析】因为,所以，即,有5个元素，选C.
3．A【解析】因为函数为奇函数，所以，选A.
4．B【解析】取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角。
因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即，选 B.
5．B【解析】将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数
，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B.
6．C【解析】作出可行域如图
由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。
由得，即,此时OM的斜率为，选C.
7．A【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件，选A.
8．D【解析】函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当时，,排除A,选D.
9．A【解析】由图象可知，是一个切点，所以代入选项知，不成立，排除。
又直线的斜率为负，所以排除C，选A
10．B【解析】有重复数字的三位数个数为。
没有重复数字的三位数有,所以有重复数字的三位数的个数为，选B.
11．D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为。
抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.
12． B 【解析】由，得。
所以
，当且仅当，即时取等号此时，.
，故选B.
13．3【解析】第一次循环，，此时不成立。
第二次循环，，此时成立，输出。
14．【解析】设，则。
由，解得，即当时，。
由几何概型公式得所求概率为。
15．【解析】向量与的夹角为，且所以。
由得，，即
，所以，即，解得。
16．①③④【解析】①当时，，，所以成立。
当时，，此时，即
成立。
综上恒成立。
②当时，
，所以不成立。
③讨论的取值，可知正确。
④讨论的取值，可知正确。
所以正确的命题为①③④。
17．解：（Ⅰ）由余弦定理，得，又，，，所以，解得，.
（Ⅱ）在△中，,
由正弦定理得，
因为，所以为锐角，所以
因此.
18．解：（Ⅰ）证明：因为分别是的中点，
所以∥,∥，所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面，
又平面,平面平面，
所以∥，
又∥，
所以∥.
（Ⅱ）解法一：在△中,,,
所以，即,因为平面,所以，
又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,
所以平面，又平面，所以，同理可得，所以为二面角的平面角，设,连接，
在△中，由勾股定理得，，
在△中，由勾股定理得，，
又为△的重心，所以
同理,
在△中，由余弦定理得，
即二面角的余弦值为.
解法二：在△中，,,
所以，又平面,所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,,,，,,所以,,,,
设平面的一个法向量为，
由，,
得
取，得.
设平面的一个法向量为
由，,
得
取，得.所以
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 19．解：（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，故，
，
所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，；
（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得
,
,
,
故的分布列为
0 1 2 3
所以
20．解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，
由，得
，
解得，，
因此
（Ⅱ）由题意知：
所以时，
故，
所以，
则
两式相减得
整理得
所以数列数列的前n项和
21．解：（Ⅰ），
由，解得，
当时，，单调递减
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为
（Ⅱ）令
（1）当时，，则，
所以，
因为，所以
因此在上单调递增.
（2）当时，当时，，则，
所以，
因为，，又
所以所以
因此在上单调递减.
综合（1）（2）可知当时，，
当，即时，没有零点，
故关于的方程根的个数为0；
当，即时，只有一个零点，
故关于的方程根的个数为1；
当，即时，
①当时，由（Ⅰ）知
要使，只需使，即；
②当时，由（Ⅰ）知
；
要使，只需使，即；
所以当时，有两个零点，故关于的方程根的个数为2；综上所述：
当时，关于的方程根的个数为0；
当时，关于的方程根的个数为1；
当时，关于的方程根的个数为2.
22．解：（Ⅰ）由于，将代入椭圆方程得
由题意知，即又
所以，所以椭圆方程为
（Ⅱ）由题意可知：=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：m（，因为，
所以，而，所以
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程
为：
，所以，而，代入中得
为定值。