列静力平衡方程 MA0
F NC 1 E k 3N 53F NBD
变形协调方程
D
F LN DB 31 m C LC 3 E k E / m 0 2 N 3 m F N 0 1 1 . 5 FB 6 m 1 m N0 0 . 8 B2 D l D F N E 65 F 4 N3 m B C3 E 0 1 0 F N D 6 m 0 0 C 2 l E E
EAcos
3P-2N2cos-N1＝0
l2
cos
=
2l1
所以
N2l
EAcos2
=2
N1l
EA
最后解得
N1 =
3P
4cos3+1
N2 =
6Pcos2
4cos3+1
L
1.8L LDB
例5
图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C点由
两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2， ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。
250 250
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast3.08c6m 2 故 A st4A s t1.3 2c42 m , A W2 5 2 562 cm 2 5
代入数据，得 F W 0 .7F 1F 7 s t 0 .2F 83
F
根据角钢许用应力，确定F
st0.2As8tF3st F69k8N
水平杆缩短 l2 F E N 2 2 A l2 2 2 1 . 3 0 1 7 9 1 2 0 2 3 1 0 .7 5 1 6 3 0 0 .6 2 1 3 m 0 0 .6 mm
l1
FN1l1 E1A1
1mm
l2
FN2l2 E2A2
0.6mm
3、节点A的位移（以切代弧）
处受荷载F作用，试求B点的位移δB。
αD
B1B B2C1C
FNCD
F
A
C
a
CC1 ccoCoLssCCD
C
C1
L/2
L/2
B
mA0
FNCDc2oFs
B1
LC F D LF N1 2 C E L D c L A CoDs F CD
E2A F c o2as
BE4 A cFo3 as
二、拉压超静定问题解法
FN 1
FN 2
300
A2
A
y
A2
A
Ax
F A1
A3
A
A A4
A1A l11mm
A2A l20.6mm
A1
xl20.6mm
yA3 AA 3A 4s i3 l1 n0 t al3 2n0
21.0 339 .0 3 m9m
AAx2y2 0.623.032 9
3.1mm
图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 例2 平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点
材料力学第六章简单 的超静定问题
§6-1 超静定问题
静定结构：
约束反力 可由静力平 衡方程全部 求得
超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高 约束反力不能全 部由平衡方程求得 超静定次数：
约束反力多于 独立平衡方程的数
独立平衡方程数： 平面任意力系：
3个平衡方程 平面共点力系：
2个平衡方程
平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材
的许用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。
解： 平衡方程:FFWFst （1）
F
F
变形协调关系: lstlw
物理关系:
lW
FWl EWAW
FW
lst
ห้องสมุดไป่ตู้
Fst l EstAst
Fst
补充方程: Fst FW （2） EstAst EWAW
一、小变形放大图与位移的求法。
求各杆的变形量△Li ，如图；
A
B
变形图精确画法，图中弧线；
L1
L2
C
变形图近似画法，图中弧之切线。
L2 P L1 C' C"
例1
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水
根据木柱许用应力，确定F
W0.7AW 1F7W F10k4N 6 许可载荷 F69k8N
250 250
例4
AB为刚性梁， 1、2两杆的横 截面面积相等。 求1、2两杆的 内力。
解
由平衡方程得 3P-2N2cos-N1＝0
由变形协调条件得
l2
cos
=
2l1
由物理关系
l1 =
N1l
EA
l2 =
N2l
超静定结构的求解方法：
1、列出独立的平衡方程
F x 0F N 1 F N 2
F y 0 2 F N 1 c o F N 3 s F
2、变形几何关系
l1 l2
l1 l2 l3co s
l3
3、物理关系
l1
FN1l
EAcos
l3
FN3l EA
4、补充方程
EFcA N1losF E N3lA cos FN1FN3co2s
5、求解方程组得
FN1FN21 F2 cco2o 3 ss FN312cFo3s
超静定问题的方法步骤：
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
例题3
木制短柱的四角用四个40mm×40mm×4mm的等边角钢加
平杆为2杆）取节点A为研究对象
Fx 0 F N 1co s F N 20
FN 1
FN 2 300
y
Ax
Fy 0 F N 1sin F0 F N 1 F /sin 2 F 2k0N
F N 2 F N 1 co s3 F 1 .3 7 k 2N
2、根据胡克定律计算杆的变形。
斜杆伸长 l1 F F E N 1 A 1 l1 1 2 0 2 1 9 1 0 0 0 2 3 0 2 0 1 6 0 0 1 1 3 m 0 1mm
D
FN 1 FN 2
FN 3
3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC
杆面积为300 mm2，AD杆面积为400 mm2，
若F=30kN，试计算各杆的应力。
A 解：设AC杆杆长为 l，则AB、AD杆长为
F
lABlAD
2l 3
列出平衡方程：
y
Fx 0 F N 1 c3 o 0 0 sF N 2 F N 3 c3 o 00 s
30kN/m
B
A
C
1m
2m
E
FNB D32.2kN
FNCE38.4kN
BD
FNBD ADB
31 22.20M 6 m 010m32N 1 Pa
D
30kN/m
FBD B
A
C
B FBD
1m
CE
FNCE ACE
39 8.4M 6 103 NPa
40m 0 m2
2m
E LCE
例题6
B 1
C2 30 30 3