6-2. 用积分法求图示各梁的挠曲线方程、自由端的挠度和转角。
设EI=常量。
解：（1）列弯矩方程⎩⎨⎧∈---=∈-=)2,[ )()(],0[ )(222221111a a x a x P Px x M a x Px x M （2）挠曲线近似微分方程⎩⎨⎧---==-==)()('')(''222221111a x P Px x M EIy Px x M EIy （3）直接积分两次⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+-=2222221211)(22'2'Ca x P x P EIy C x P EIy ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++---=++-=22232322111311)(666Dx C a x P x P EIy D x C x P EIy （4）确定积分常数边界条件：0' ,0 :2222===y y a x光滑连续条件：'' , :212121y y y y a x x ====求解得积分常数3212212725Pa D D Pa C C -==== 梁的挠曲线方程和转角方程是b)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+-=222222221125)(22'252'Pa a x P x P EIy Pa x P EIy⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+---=-+-=322323223123112725)(6627256Pa x Pa a x P x P EIy Pa x Pa x P EIy （5）自由端的挠度和转角令x1=0：EIPa y EI Pa y 25' ,272131=-=6-4. 求图示悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度和转角。
设EI=常量。
求解时应注意CB 段内无载荷，故CB 仍为直线。
解：（1）求约束反力Pa M P R A A ==（2）列AC 段的弯矩方程],0( )(a x Pa Px x M ∈-=（3）挠曲线近似微分方程Pa Px x M EIy -==)(''（4）直接积分两次DCx x Pa x P EIy CPax x P EIy ++-=+-=232262'a)M（5）确定积分常数边界条件：0' :0===y y x得积分常数：0==D C（6）AC 段的挠曲线方程和转角方程232262'xPa x P EIy Paxx P EIy -=-=（7）C 截面的挠度和转角令x=a ：EIPa y EI Pa y C C 3 232'-=-= （8）自由端的挠度和转角梁的变形：BC 段保持为直线，则)3(6)(222a l EIPaa l y y EI Pa C C B C B --=-+=-==θθθ6-6. 用积分法求梁的最大挠度和最大转角。
在图b 的情况下，梁对跨度中点对称，可以只考虑梁的二分之一。
解：（1）求约束反力PPl M P R A A ==（2）弯矩方程],2/[ )(]2/,0( )(222111l l x Pl Px x M l x Pl Px x M ∈-=∈-=（3）挠曲线近似微分方程PlPx x M EIy Pl Px x M EIy -==-==22221111)('')(''2（4）直接积分两次⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=222232211213112222211211262622'2'2Dx C x Pl x P EIy D x C x Pl x P EIy CPlx x P EIy C Plx x P EIy（5）确定积分常数边界条件：0' ,0 :0111===y y x光滑连续条件：'' , :2/212121y y y y l x x ====求解得积分常数321221241 0 163 0Pl D D Pl C C -====梁的挠曲线方程和转角方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2222212111632'2'2Pl Plx x P EIy Plx x P EIy PM⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=322223222131124116326262Pl x Pl x Pl x P EIy x Pl x P EIy （6）最大挠度和最大转角发生在自由端令x 2=l ：EIPl y EI Pl y 165' ,1632max 3max -=-=6-8. 用叠加法求图示各梁截面A 的挠度和截面B 的转角。
EI=常量。
图a 和d 可利用题6-4中得到的结果。
解：a ）（1）P 单独作用时EIPlEI l P EIPlEI l P y PB PA 82)2(243)2(22)33)-=-=-=-=θ（2）Mo 单独作用时EIPl EI l Pl EI Pl EI l Pl y Mo B Mo A 2)32)82)2(-=⋅-=-=-=θ （3）P 和Mo 共同作用时EIPl EI Pl y y y Mo B P B B Mo A P A A 8962))3))-=+=-=+=θθθc ）（1）求y Aa)qc)查表得EIql y A 38454)1(-= 由叠加知)2()1(A A A y y y +=其中有关系)2(A A y y -=由此得EIql y y A A 7685214)1(-== （2）求θB由微力qdx 引起dθBEIqldx EIl x x l q d dxEIlx x l q EIl x l x l x qdx d ls B B B 38476)(6)(6))(()(3203232=-==∴-=+-⋅⋅=⎰⎰θθθ6-9. 用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角，设EI 为常量。
解：（1）分解成简单载荷BP=qac)q(1)(2) q（1）分别求出简单载荷作用时外伸端的变形转角EIqa EI aqa EIqa EI qa EI a qa D B B D B 332216416)2(32)3()3(3)2(32)1()1(-=⋅-==-==⋅==θθθθθ挠度EIqa a y EIqa y EI qa a y D B B D B 3844)3()3(4)2(4)1()1(-=⋅=-==⋅=θθ（2）叠加EIqa y y y y EI qa B B B B B B B B 24544)3()2()1(3)3()2()1(-=++=-=++=θθθθ 6-10. 桥式起重机的最大载荷为P=20kN 。
起重机大梁为32a 工字钢，E=210GPa ，l=8.7m 。
规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。
BP=qa(1)B(2)B(3)解：（1）当起重机位于梁中央时，梁变形最大；计算简图为（2）梁的最大挠度发生在C 截面EIql EI Pl y y y y q C P C C 38454843)()(max +=+==（3）查表得（32a 工字钢）m N m kg q cm I /6.516/717.52 111002===（4）刚度计算m lf m y 0175.0500][0137.00017.0012.0max ===+= 梁的刚度足够。
6-12. 磨床砂轮主轴的示意图如图所示，轴外伸部分的长度a=100mm ，轴承间距离l=350mm ，E=210GPa 。
Py=600N ，Pz=200N 。
试求外伸端的总挠度。
解：（1）将载荷向轴线简化得计算简图进一步简化（不考虑Mx 引起的扭转变形）AB分解载荷其中Nm a R M N P P R Z y 25.63 5.63222=⋅==+=（2）计算外伸端的挠度mma EIMl EI Ra y y y M B R B B 663)()(1025.210)75.15.0(33--⨯=⨯+=⋅+=+= 6-14. 直角拐的AB 杆与AC 轴刚性连接，A 为轴承，允许AC 轴的端截面在轴承内转动，但不能移动。
已知P=60N ，E=210GPa ，G=0.4E 。
试求截面B 的垂直位移。
解：（1）分析变形：AB 发生弯曲变形，AC 发生扭转变形； （2）计算A 、C 相对扭转角pp AC GI ACAB P GI AC T φ⋅⋅=⋅=由此引起B 截面的垂直位移（向下）mm d G ACAB P AB AC B 05.23242)1(=⋅⋅⋅=⋅=πφδ （3）计算AB 变形引起B 截面的位移（向下）mm EIABP B 17.633)2(==δ（4）计算B 截面的总体位移（向下）mm B B B 22.8)2()1(=+=δδδRA BAB6-26. 图示悬臂梁的EI=30×103N·m 2。
弹簧的刚度为175×103N·m 。
梁端与弹簧间的空隙为1/25mm 。
当集中力P=450N 作用于梁的自由端时，试问弹簧将分担多大的力？解：（1）受力分析属一次静不定问题 （2）分析变形B 截面的向下的位移值EIl R P y B 3)(3-=弹簧变形cR =Δ 变形几何关系Δ1025.13+⨯=-B y（3）弹簧受力N R 6.82=6-27. 图示悬臂梁AD 和BE 的抗弯刚度同为EI=24×106N·m2，由钢杆DC 相连接。
CD 杆l=5m ，A=3×10-4m2，E=200GPa 。
若P=50kN ，试求悬臂梁AD 在D 点的挠度。
1.25Δ解：（1）解除约束C ，受力分析（2）分析C 处的位移（向下位移为负）情况1）中，C 处位移由AD 的弯曲变形和CD 的的拉伸变形引起EAlR EI a R C C C --=33)1(δ 情况2）中，C 处位移分别由P 和R ’C 作用引起EIa R a a EI Pa C C 3')23(632)2(+-⨯-=δ其中C C R R '=（3）变形谐调关系)2()1(C C δδ=（4）求约束力kN R C 5.45=（5）求梁AD 在D 点的挠度mm EIa R y C D 56.033-=-=EDER C2)方向向下6-28. 钢制曲拐的横截面直径为20mm ，C 端与钢丝相接，钢丝的A=6.5mm2。
曲拐和钢丝的弹性模量同为E=200GPa ，G=84GPa 。
若钢丝的温度降低50oC ，且=12.5×10-6 /oC ，试求钢丝内的拉力。
解：（1）解除约束C ，受力分析（2）分析C 处的位移（向下位移为负）情况1）中，C 处位移由AB 的弯曲变形、扭转变形和BC 的弯曲变形引起EIR GI R EI R C p C C C 33.03.06.0)3.0(3)6.0(33)1(⨯-⨯⋅⋅--=δ情况2）中，C 处位移分别由温度改变和R ’C 作用引起EAR t C C 4'Δ4)2(⨯+⨯⨯-=αδ 其中C C R R '=（3）变形谐调关系’C2))2()1(C C δδ=（4）求约束力NR C 16.26=。