在 Rt △ EAD 中，有 422 (98 x)2 x2 ，解得 x 58 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 2 页（共 5 页）
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．使得等式 1 1 a 3 a 成立的实数 a 的值为_______． 【答】 8 . 由所给等式可得 (1 1 a)3 a2 .令 x 1 a ，则 x 0 ，且 a x2 1，于是有 (1 x)3 (x2 1)2 ，
4．已知正整数 a,b, c 满足 a2 6b 3c 9 0 ， 6a b2 c 0 ，则 a2 b2 c2 ＝ （ ）
A. 424． 【答】C.
B. 430．
C. 441．
D. 460．
由已知等式消去 c 整理得 (a 9)2 3(b 1)2 75 ，所以 3(b 1)2 75 ，又 b 为正整数，解得1 b 6 .
2
2
Байду номын сангаас
3
A
D
F
所以梯形的面积为 1 (1 4) 4 2 10 2 .
2
3
3
E
6．如图，梯形 ABCD 中， AD // BC , A 90 ，点 E 在 AB 上，若 AE 42 ，
BE 28， BC 70 ， DCE 45 ，则 DE ＝
（）
B
C
A. 56．
B. 58．
C.60．
D. 62．
为 A. 4． 【答】B.
B．3．
C．2．
D．1．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
若 a ＝2，由 ab 6 可得 b 2 或 3， b 2 时可得 c 4 ， b 3 时可得 c 5 （不是整数）； 2
整理后因式分解得 x(x 3)(x 1)2 0 ，解得 x1 0 ， x2 3 ， x3 1 （舍去），所以 a 1或 a 8 . 验证可知： a 1是原方程的增根， a 8 是原方程的根. 所以， a 8.
2．已知△ ABC 的三个内角满足 A B C 100 ，用 表示100 C,C B, B A 中的最小者，则 的最大值为_______．
因此， a 9 ， b ＝6， c 18 ，故 a2 b2 c2 ＝441.
5．梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB 3 ， BC 4 ， CD 2 ， AD 1，则梯形的面积为 （ ）
A. 10 2 ． 3
B. 10 3 ． 3
C. 3 2 ． D. 3 3 ．
【答】A.
2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
由 1 1 1 0 得 1 1 1 0 ，所以 xy yz zx 0 .
a 1 b 3 c 5
xyz
所以 (a 1)2 (b 3)2 (c 5)2 x2 y2 z2 (x y z)2 2(xy yz zx) 100 .
3．若正整数 a,b, c 满足 a b c 且 abc 2(a b c) ，则称 (a,b, c) 为好数组.那么，好数组的个数
【答】B.
作 CF AD ，交 AD 的延长线于点 F ，将△ CDF 绕点 C 逆时针方向旋转 90 至 G
△ CGB ，则 ABCF 为正方形，且 ECG 45 ECD ， CG CD ， CE CE ，所以，△ ECG ≌
△ ECD ，所以 EG ED .
设 DE x ，则 DF BG x 28 ， AD 70 DF 98 x .
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知实数 a,b, c 满足 2a 13b 3c 90， 3a 9b c 72 ，则 3b c ＝ a 2b
A. 2．
B. 1．
C. 0．
D. 1．
【答】B.
（）
已知等式可变形为 2(a 2b) 3(3b c) 90 ， 3(a 2b) (3b c) 72 ，解得 a 2b 18 ，
若 a ＝1，则 bc 2(1 b c) ，于是可得 (b 2)(c 2) 6 ，可求得 (a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，
5）. 综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.
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3b c 18 ，所以 3b c 1. a 2b
2．已知实数 a,b, c 满足 a b c 1， 1 1 1 0 ，则 (a 1)2 (b 3)2 (c 5)2 ＝ a 1 b 3 c 5
（）
A.125．
B．120．
C．100．
D．81．
【答】C.
令 a 1 x ， b 3 y ， c 5 z ，则 x y z (a 1) (b 3) (c 5) 10 ，且
若 b ＝1，则 (a 9)2 75 ，无正整数解；
若 b ＝2，则 (a 9)2 72 ，无正整数解；
若 b ＝3，则 (a 9)2 63 ，无正整数解；
若 b ＝4，则 (a 9)2 48 ，无正整数解；
若 b ＝5，则 (a 9)2 27 ，无正整数解；
若 b ＝6，则 (a 9)2 0 ，解得 a 9 ，此时 c 18 .
作 AE // DC ， AH BC ，则 ADCE 是平行四边形，所以 CE AD 1， AE CD 2 ，从而 BE BC CE 4 1 3 AB ，所以△ ABE 是等腰三角
B
形，底边 AE 边上的高为 32 12 2 2 .
A
D
H
E
C
所以△ ABE 的面积 S 1 AE 2 2 1 BE AH ，故可得 AH 4 2 .