2017年全国数学竞赛真题AB卷2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(x f x f .又当70x 时，)9(log )(2x x f ，则)100(f 的值为__________. 2.若实数y x,满足1cos 22y x ，则y x cos 的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P中，1AB ，2AP ，过AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集1,0,1,),(y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3A ，ABC 的面积为3，则AN AM 的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列n n b a ,满足：20171010b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a 12，n n b b 21，则11b a 的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k,为实数，不等式12m kx x 对所有b a x ,成立.证明：22ab .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x 的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1z ，0)Re(2z ，且2)R e()R e(2221z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z 的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC 中，AC AB ，I 为ABC 的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1，以I 为圆心，IB 为半径作圆2，过点I B,的圆3与1,2分别交于点Q P,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CRBR 二.设数列n a 定义为11a ，,2,1,,,,1n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173r a r 的正整数r 的个数. 三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值. 四.设n m,均是大于1的整数，n m，n a a a ,,,21是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ，使得x m m x a i )1(2，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1.在等比数列{}n a 中，22a ，333a ，则1201172017a a a a 的值为.2.设复数z 满足91022z z i ，则||z 的值为. 3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x 是奇函数，()2x f x 是偶函数，则(1)f 的值为. 4.在ABC 中，若sin 2sin A C ，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为. 5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE ，4EF ，且EF 与平面BCD 平行，则DEF 的面积为. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为. 7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a 的焦距为4，则a 的值为. 8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ，则数组(,,)a bc 的个数为.二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa 对所有[1,2]x 成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212nn n n b a a a ，1,2,n . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ，并且存在正整数,s t ，使得s t a b 是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x ，曲线222:(4)8C x y ，经过1C 上一点P作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR 的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ，令max{,,}d a b c ，证明：2(1)(1)(1)1a b c d 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N 分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m .三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC 的外接圆上弧BC 的中点，直线DA 与圆过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ，1220,,,{1,2,,10}b b b ，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b ，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89解：数列{}n a 的公比为33232a qa ，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q . 2.答案：5解：设,,z a bi a b R ，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ，比较两边实虚部可得9101022a ab b ，解得：1,2a b ，故12z i ，进而||5z . 3.答案：74解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f ，1(1)2(1)2f f ，两式相加消去(1)f ，可知：12(1)32f ，即7(1)4f . 4.答案：24解：由正弦定理知，sin 2sin aA cC ，又2b ac ，于是::2:2:1a b c ，从而由余弦定理得：222222(2)122cos 24221b c aA bc . 5.答案：233解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ，7AD AB AE BE .由余弦定理得，222cos60DE AD AE AD AE 49162837，同理有37DF . 作等腰DEF 底边EF 上的高DH ，则122EH EF ，故2233DH DE EH ，于是12332DEF S EF DH .6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C 种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有4416种情况，（3）三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)，(0,1)的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830，进而所求概率为3058414.7.答案：1172解：二次曲线方程可写成2221xy a a ，显然必须0a ，故二次曲线为双曲线，其标准方程为22221()()yx a a ，则2222()()c a a a a ，注意到焦距24c ，可知24a a ，又0a ，所以1172a .8.答案：574解：由条件知2017[]21000c ，当1c 时，有1020b ，对于每个这样的正整数b ，由10201b a 知，相应的a 的个数为20210b ，从而这样的正整数组的个数为2010(1022)11(20210)5722b b ，当2c时，由201720[]100b ，知，20b ，进而2017200[]20110a ，故200,201a ，此时共有2组(,,)a b c .综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574.9.解：设2x t ，则[2,4]t ，于是|||5|t a t 对所有[2,4]t 成立，由于22|||5|()(5)t a t t a t ，(25)(5)0t a a ，对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a ，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ，因此()0f t 等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a ，解得35a 所以实数a 的取值范围是35a .10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a 23111()()()n nn n n n n a a a a a a a 212()n n n a d a a d 221(2)3n n n a a a d d 所以数列{}n b 也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：23d d ，因为0d，故13d ，这样2212()(2)n n nn n n n b a a a a d a d a 22329n nda d a 若正整数,s t 满足st a b Z ，则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d 122239s t a Z . 记122239s t l a ，则l Z ，且1183(31)1a l s t 是一个非零的整数，故1|18|1a ，从而11||18a . 又当1118a 时，有1311711818a b Z ，综上所述，1||a 的最小值为118.11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为22yx t t ，代入曲线2C 的方程得，222(4)(2)8x x t t ，化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t ①，由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式为正，计算得，222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t。