2017年全国高中数学联赛A 卷一试
一、填空题
1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.
2.若实数y x ,满足1cos 22
=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110
9:2
2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的
右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{
1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.
7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3
π
=
∠A ，ABC ∆的面积为
3，则⋅的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有
n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设m k ,为实数，不等式12
≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .
10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)5
3)(53(3
21321x x x x x x ++++的最小值和最大值.
11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2
221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.
（1）求)Re(21z z 的最小值；
（2）求212122z z z z --+++的最小值.
2017年全国高中数学联赛A 卷二试
一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与
1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于
点R .证明：CR BR ⊥
二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,
,,,1=⎩⎨
⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足2017
3≤<r a r 的正整数r 的个数.。