例 :已知f(t)=e-2tcos t·ε(t)的单边拉氏变换为
F(s) s 2 (s 2)2 1
求 f (t) 傅里叶变换 F ( j).
解 F（S）的收敛坐标 0 2 ，即 0 0 。因此
F
(
j )

(
j j
2 2)2
1
另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于
:
F
(s)

1 s
,
求f
(0
)

?
f (0 )
limHale Waihona Puke t 0f (t)
lim sF (s) 1
s
即单位阶跃信号的初始值为1
BACK
例2
F(s)

2s s1
,
求f
(0

)

?
Fs 2s 2 2
s1 s1
f t中有2 t项

f
(0
)

limsF (s)
e t ut
j
O
t
O

F ( )不存在，不能由F ( s)求F ( )。
2. 当 0 0时,收敛边界落于s平面左半边
f t e tu(t) ( 0)
Fs 1
s
收敛域:
衰减函数，傅氏变换是存在:F ( j ) 1
j
F( j ) F s s jω
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当 0 0时,收敛边界落于 s 右半平面
当 0 0时,收敛边界落于s左半平面
当 0 0时,收敛边界位于虚轴
傅氏变换与拉氏变换的区别和联系
当t 0 f (t) 0
双边拉氏变换
s j
t
0
单边拉氏变换
s j
lim
s

0
d f (t )est dt
d t

d f (t) lim est d t 0 0 d t s
时移特性例题
BACK
【例1】 已知 f t tut 1,求Fs
Fs Ltut 1 Lt 1ut 1 ut 1
1
j

jn

F ( j) Fa (s) s j

N
Kn ( n )
n1
1
j

jn

Fa (s) s j

N n1
Kn
j jn
N
Kn( n )
n1
N
F ( j) F (s) s j Kn( n ) n1


1 s2

1 e s s
【例2】 已知f (t)＝ 2 cos t ut,求F(s)。
0 t
傅氏变换
s j
t
L f t F f tutet
(s j )
1. 当 0 0时,收敛边界落于 s 平面右半边
f (t) e tu(t) ( 0)
其拉氏变换 : Fs 1
s
收敛域:
N
f (t) L1[F (s)] fa (t) Kne jntu(t) fa(t) fM (t) n1 N
其中 fM (t) Kne jntu(t) n1
f (t) 的傅里叶变换为
F( j) F[ f (t)] F[ fa (t)] F[ fM (t)]
s

ks
lim
s

s
2

s
2
1

2s

lim 2s lim 2 2
s s 1
s
1
1
f (0 ) 2
s
初值定理证明
由原函数微分定理可知
BACK
sF (s)
f
0
L
d f (t) dt
则F(s)不等于F(jω)。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点
为m个一阶极点jβi(i=1, 2, …, m)。将F(s)展开为部分分式， 表示为
F (s)

Fa
(s)

N n1
s
Kn
jn
式中，Fa(s)表示左半平面极点对应的分式。令Fa(s)的原函数 为fa(t)，则F(s)的原函数为
d f (t)est d t
0 d t
0 d f (t)est d t d f (t)est d t
0 d t
0 d t

f 0
f 0
d f (t )est d t 0 d t
sF (s)
f 0
d f (t)est d t 0 d t
由于 fa (t)是Fa (s)的原函数，并且 Fa (s)的极点在左半面，故 F[ fa (t)] Fa (s) s j
根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于ε(t)的傅里
() ， 因1 此得 j
F[ fM (t)]
N
kn ( n )
n1
e t ut
j
O
t
0

3. 当 0 0时,收敛边界位于虚轴
F s是存在的，F 与F s之间不再是简单的置换关系,
因为傅氏变换中包括奇异函数项 。
例如：f t ut
F s 1 ，F ( j ) ( ) 1
s
j
若收敛坐标σ0=0，F(s)的收敛域为Re［s］＞0，F(s) 的收敛域不包含jω轴，故F(s)在jω轴上不收敛。若令s=jω，
F[e2t (t)] 1 j 2
所以有
F ( j) F[e2t (t) cos t]

1
2

j(
1 1) 2
j(
1 1)

2


j 2 ( j 2)2 1
思考题
• 根据函数拉氏变换，如何判断它的傅氏变 换是否存在？
本章小结
例1
已知
§4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
• 主要内容
•引言 •从函数拉氏变换求傅氏变换
• 重点：从函数拉氏变换求傅氏变换
• 难点：判断函数傅氏变换的存在
一、引言
我们在引出拉氏变换 时, 是针对 f t 不满足绝对
可积条件, 对其乘以一个衰减因子 et , 作傅氏变换, 演变为拉氏变换
L f (t) F f (t) e t u(t) Fs s j