求幂级数的和函数()S x
1．1(1)(1)
n n
n x n n ∞
=-+∑
解：易知收敛域为[]1,1-。

当()()1,00,1x ∈-⋃时，1
11(1)()(1)n n n S x x x n n ∞+=-=+∑。

令1
11(1)()(1)
n n n S x x n n ∞
+=-=+∑
，则 11(1)()n n n S x x n ∞
=-'=∑，()11
111
1()(1)1n n n n n S x x x x ∞∞--==''=-=--=-+∑∑。

两边取积分，则 111()()(0)S x S x S '''=-=10
0()ln(1)1x
x
dt
S t dt x t ''=-
=-++⎰
⎰。

再取一次积分，则
11110
()()(0)()ln(1)(1)ln(1)x
x
S x S x S S t dt t dt x x x '=-==-+=-++⎰⎰，
从而当()()1,00,1x ∈-⋃时有
1()1ln(1)x
S x x x
+=-
+。

（*）
当1x =-时，()1111
111(1)1n n S n n n n ∞
∞
==⎛⎫-==-= ⎪++⎝
⎭∑∑。

当0x =时，(0)0S =。

当1x =时，()()
()()()()1
111111111112ln 2(1)11n
n n n n n n n n S n n n n n
n +∞
∞
∞∞====⎡⎤-----==-=+=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。

注意：上面第三个等式成立是因为等式右边的两个级数都收敛；
最后一个等式利用了下列麦克劳林展开式：()
1
1
ln(1)1n
n n x x n
∞
-=+=
-∑ （11x -<≤）。

将1x =代入，即得 ()
()
()
1
1
1
1
1
111ln 211
n n
n n n n n
n
n -+∞
∞
∞
===---=
=-=-+∑
∑
∑。

也可以利用幂
级数和函数的分析运算性质（1）（见P262）直接得出(1)S 也满足（*）的结论。

2．()()1
21
2
1121
n n n x n -∞
+=--∑ 解：易知收敛域为[]1,1-，并且
()()()
()11
11
22121
21
21111
1111111()221212
21221
n n n n n n n n n n n n x S x x x x x n n n n ----∞∞∞
∞++-+====⎡⎤----=-=
-⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦∑∑∑
∑。

记上式右边两个级数的和函数分别为1()S x 和2()S x ，则2121
()()()22
x S x S x S x =-。

显然，当()1,1x ∈-时有
()
()
1
1
22
212
1
1
1
()11n n n n n S x x
x x
∞
∞
---=='=-=-=
+∑∑， 从而 11112
00()()(0)()arctan 1x
x
dt
S x S x S S t dt x t =-=
==+⎰
⎰。

类似地，由于
()
()
21
2222
1
1
()11n
n n
n n x S x x
x
x ∞
∞
-=='=-=--=+∑∑， 所以 222222
0()()(0)()arctan 1x
x
t dt
S x S x S S t dt x x t '=-=
==-+⎰
⎰。

因此，当()1,1x ∈-时
()()2211()arctan arctan 1arctan 2222
x x S x x x x x x =--=+-。

由于上式在1x =±处连续，根据幂级数和函数的分析运算性质（1）（见P262）可知，上式
也是1x =±时的和函数。