长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练
幂级数求和的方法
系（部）：信息与计算科学系
专业：数学与应用数学
学号： 2009031110
学生姓名：范庆勇
成绩：
2012年 6月
幂级数求和的方法
范庆勇
长沙学院 信息与计算科学系 湖南长沙 410022
摘要：幂级数是无穷级数中的一种．本文主要总结了幂级数的多种求和方法．主要有逐项微分与逐项积分法，代数方程法，公式法等．同时通过举例说明了不同方法在解题中的应用．
关键词：幂级数，和函数，微分，积分
１ 引言
幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关公式求解．
本文通过具体例子介绍了幂级数求和的几种方法．文献［１］主要介绍了利用逐项积分与逐项微分的思想，计算部分和的极限以及转化为微分方程求幂级数的和．文献［２］主要是讲述了裂项组合法，逐项积分与逐项微分法，有限递推法，代数方程法，微分方程法求幂级数的和，同时还介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．文献［３］主要是介绍通过逐项微分推导出几种公式，利用公式求和函数．
本文主要介绍逐项积分与逐项微分法，代数方程法，公式法求幂级数的和．
２ 幂级数求和的几种方法
２．１ 逐项微分［１］ 幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的，且有逐项求导公式
)x ('s ＝（n
n n x
a ∑∞
=）＇＝
x a n
n n
）（∑
∞
=＝1
-n 1
n n x
na ∑∞
=，
通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，再积分即可．
例１
［１］
在区间（－１，１）内求幂级数n
1
n x
n
1n ∑
∞
=+的和函数，并由此计算级数
∑
+n
n n 2
*1的和 ．
解：设和函数为）（x s ，则
）（x s ＝n
1n x
n
1n ∑
∞
=+＝n 1
n 1
n n
x n
1
x ∑∑∞
=∞=+，
又
∑
∞
=1
n n
x
＝
x
-1x ，
设 ）（ｓ１
x ＝n 1
n x n
1
∑∞
=，
逐项求导得
）（ｓ１
x '=∑∞
=1
n 1
-n x ，
两边积分
⎰
x
1x 's ）（dx ＝⎰
x
x
11－dx
＝－x)ln(1－＝)x (s 1，
所以
）（x s ＝
x
1x
－－）－（x 1ln ．
令ｘ＝2
1
，得
∑+n
2
*n 1
n ＝）（2
1
s ＝2
112
1
-
－）－（2
1
1ln ＝１＋ln2．
２．２ 逐项积分［１］ 幂级数在其收敛区间内和函数是可积的，且有逐项积分公式．
dx x s x
⎰
）（＝dx x a x
0n n n ⎰
∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∞=＝dx
x a n
n x
n ∑
⎰
∞
=＝1
n 0
n n x
1
n a +∞
=∑
+，
通过对幂级数的逐项积分将其转化成能求出和函数的幂级数，再求导即可．
例２
［１］
求幂级数∑∞
=+0
n n
2x 1n ）（（｜x ｜＜１）的和函数．
解：设
）（x s ＝∑∞
=+0n n
2x
1n ）（，
两边积分
dx x s x
⎰
）（＝()dx x 1n x
0n n 2⎰
∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+∞=＝()
dx
x 1n n
2
n x
∑
⎰∞
=+＝()1
n 0
n x
1n +∞
=∑+＝x
()∑∞
+ｎ＝０
1
n x
＇＝
x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∞=+0n 1n x ＇＝ｘ⎪⎭⎫
⎝⎛-x 1x ＇＝
()2x 1x -，
即
dx x s x
⎰
）（＝
()
2
x 1x
-．
２．３ 代数方程法［２］
建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从
而使幂级数和函数问题转化为代数方程问题，并最终实现幂级数和函数问题的求解．这
里将给予重点介绍．
例３
［２］
计算0
(21)n n n x ∞
=+∑的收敛域与和函数．
解：收敛域为(1,1)-．令
1
()(21)1(21)n
n
n n s x n x
n x ∞
∞
===+=+
+∑∑，
则
1
1
()(21)(21)n n
n n xs x n x
n x ∞∞
+===+=
-∑∑，
于是
1
1()()121n n x s x xs x x x
∞
=+-=+=
-∑，
即
1()()1x s x xs x x
+-=
- （1），
因此
2
1()(1)
x s x x +=
-，(1,1)x ∈-．
２．４ 一些比较基本的公式［３］ 对于比较难的但又能较容易推到出求和公式的求和，掌握一些基本的公式可以降低题目的的难度。

本方法是巧用2.1中幂级数逐项微分定理，给出几类求和公式
公式１
［３］
()()()ｎ－x 1m n 2n 1n n 1
n +++∑∞
= ＝
()
1
m x 1x
m +－！， ()1x <｜｜
公式２
［３］
()∑∞
=+0n n
x nd a ＝x
1a －+
)
2
x 1x d －∙ ， ()1|x |<
证明1 由x
11x 1
n 1-n －＝
∑∞
= ()1|x |<及幂级数逐项微分定理，有
m
x 11⎪⎭
⎫
⎝⎛－＝
()()()1
-m -x
m n 2n 1n ｎｎ＝ｍ＋１－－－ ∑∞
＝()()1-n x 1m n 1n n ∑++－ ，
()()n
1
n x 1m n 1n n ∑∞
=++－ ＝x m
x 11⎪
⎭⎫
⎝⎛－ ()1|x |<，
而
m
x 11⎪⎭
⎫
⎝⎛－＝
()
1
m x 1m +－！
，
所以
()()()ｎ
－x
1m n 2n 1n n 1
n +++∑
∞
= ＝
()1
m x 1x
m +－！()1|x |<．
证毕．
证明 2 ()∑∞
=+0
n n
x nd a =a ∑∞
=0
n n
x +d ∑∞
=1
n n
nx =
x
1a －+d ∑∞
=1
n n nx ()1|x |<，
由公式1
∑
∞
=1
n n
nx
=
()2
x 1x
－，
所以
()∑∞
=+0n n
x nd a =x
1a －+
()
2
x 1x
d －∙()1|x |<．
证毕．
例４
［３］
求()()n 1
n x 2n 1n n ++∑∞
=的和函数．
解： 由公式1，m=3时，
()()n
1
n x
2n 1n n ++∑
∞
==
()
4
x 1x
3－！ ， |x|<1
例５
［３］
求∑
∞
=+0
n n
2
1n 2的和．
解：由公式2，a=1，d=2，x=2
1时，
∑
∞
=+0
n n
2
1n 2=
2
111－
+2
2112
12⎪
⎭⎫ ⎝
⎛∙
－=2+4=6
参考文献
［１］李道渊．幂级数的求和方法［Ａ］．价值工程，2010（26-0202-01）． ［２］陈晓龙，施庆生．高等数学学习指导［Ｍ］．北京：化学工业出版社，2006，238-243． ［３］彭培让．几类幂级数的求和公式［Ｎ］．周口师专学报，1996,13（2）．。