典中点图形的相似专训3 三角形中位线的应用
◐名师点金◑
三角形中位线定理有着广泛的应用,可以用来证明或求解许多问题,但我们往往不能直接利用这个定理,要仔细观察图形中与定理有关的基本图形,特别是涉及与中点有关的条件时,要通过巧妙添辅助线构造三角形中位线。

应用1：利用三角形中位线进行证明
类型1：证相等关系
1.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC=BD,E,F 分别为AB,CD 的中点,点O 为AC,BD 的交点,G,H 为EF 与BD,AC 的交点.求证:OG=OH 。

类型2：证倍分关系
2.如图,在平行四边形ABCD 中,BD 为对角线,点E,F 分别是AB,BC 的中点,连结EF,交BD 于M 点。

求证:(1)BM=41BD;(2)ME=MF
类型3：证不等关系
3.如图,M,N 是四边形ABCD 的边BC,AD 的中点,且AB 与CD 不平行.求证:MN<
2
1(AB+CD)。

类型4：证位置关系
4.如图,自△ABC的顶点A向∠ABC和∠ACB的平分线作垂线,垂足分别为D,E,连结DE。

求证:DE∥BC。

应用2：利用三角形中位线探究多边形形状
5.顺次连结对角线相等的四边形各边中点,所得四边形是( )
A.矩形
B.平行四边形
C.菱形
D.任意四边形
6.顺次连结正方形各边中点所得的四边形一定是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
7.D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连
结OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连结点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,试判断四边形DGFE的形状,并说明理由。

应用3：利用三角形中位线求值
8.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=8,且AD:BC=3:7,E,F分别是BD,AC的中点,求EF的长。