学科教师辅导讲义教学主任签字：学员编号： 年 级：高一 课时数：2课时 学员姓名： 张浩翔 辅导科目：数学 学科教师： 授课日期及时段 2017年2月11日教学目标 1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。

2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。

重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题一、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数．其中x 是自变量，α是常数．[化解疑难] 1．幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，且只有一项． 2．指数函数与幂函数的辨析指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的底数a 为常数，指数为自变量；幂函数y ＝x α(α∈R )以幂的底为自变量，指数α为常数.：在同一坐标系中，试作出幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的图象．[化解疑难]常见幂函数的图象与性质解析式y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝1xy ＝x 12图象定义域 R R R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数 奇函数奇函数 非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)[化解疑难]幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案] B(2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法]判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．[活学活用]函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 解：根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.已知α取－2，－12，12，2[例2] (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1 C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.[答案] (1)B (2)B [类题通法]解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[活学活用]已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上所述，可知c <b <a . [例3] 比较下列各组数中两个数的大小． (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x 为R 上的减函数，又34>23， ∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334.又∵函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334. [类题通法]比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．9.用幂函数的单调性解题时易忽视单调区间的讨论[典例] 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a ＋1)－m3<(3函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．[例1] (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x －3；(4)f (x )＝1－log 3x .[解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是x ＝－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23. 所以函数f (x )＝2x －3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝(x －1)(x 2－4x ＋3)x －3；(3)f (x )＝4x ＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．[例2] (1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10) [解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x 的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[例3] (1)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2.。