第四节
函数的单调性与极值
本节开始, 我们学习导数在实际中的一些应用, 包括 利用导数研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性、拐 点）并作图以及最优化问题的求解, 这些应用的理论基
础是我们之前学习的微分学理论以及微分中值定理.
1
一、函数的单调性的判别法
观察与思考： 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 函数单调增加 函数单调减少
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例7 求函数 f ( x) ( x 5) 2 3 ( x 1) 2的单调区间和极值.
解
1 2 f ( x) 2( x 5) 3 ( x 1) 2 ( x 5) 2 ( x 1) 3 3 6( x 5)( x 1) 2(x 5)2 4( x 5)(2x 1) . 3 3 x 1 33 x 1
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 ,
f ( x)在[ x1, x2 ] [a, b]上满足Lagrange定理条件,
应用Lagrange定理,可得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
( x1 x2 )
x2 x1 0, 从而
5
注： 1、函数单调性的判别法是Lagrange中值定理的重 要应用.定理中的区间[a,b]可推广为开区间、半开区间、 无穷区间等,定理均成立. 2、单调性是函数在一个区间上的性质, 因此要用导数在 该区间上的整体符号来判定,不能用一点处的导数符号来 代替.区间内个别点处的导数为零,不影响函数在该区间 上的整体单调性.
称为“二阶导数非零法” 说明：(1)记忆:几何直观；
o
x0
x
(2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；
(3) 当 f ( x0 ) 0 时,法则失效,如: x 3 , x 4 在 x 0 处 .
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例8
求函数 f ( x ) x 3 x 9 x 5 的极值.
( ,1) 1
1 ( 1, ) 2
1 2
1 ( ,5) 2
5
(5, )

不存 在

0
极 大 值

0
极 小 值

f ( x)
极 小 值
1 f ( x)的单调增区间为[ 1, ],[5, ); 2 1 单调减区间为 (, 1), ( , 5) 2 1 81 3 9 f( ) . f (1) 0，f (5) 0， 极大值： 极小值： 2 4 23 4
如 y x 3 的驻点为x 0 ,但它不是极值点.
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此外,不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但 x 0 却是极小值点.
但函数的不可导点也不一定是极值点，
如 y 3 x 在x 0 处不可导,却不是极值点.
y
y
y | x|
O
y3 x
x
O


f ( x)
f ( x)的单调增区间为 (,1),(2, ); 单调减区间为 [1, 2]. 分界点不要忘
11
例5 求函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
解
D=(, ).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2).
定理3(极值的第二充分条件)
设函数 f ( x) 在它的驻点x0 处二阶可导,则
(1) 如果 f ( x0 ) 0 , 则 x0 为极小值点； y
(2) 如果 f ( x0 ) 0 , 则 x0 为极大值点；

x0

x
(3) 如果 f ( x0 ) 0 , 则无法判断.
o
y
y
y 3 x2
o
x
8
例4 讨论函数 y e x x 1 的单调性 . 解 定义域 D=(, ).
x y e 1, 令 f ( x) 0 , 得 x 0 .
当x 0时，y 0, 函数在(, 0] 上单调减少；
y 0, 函数在(0, )上单调增加. 当x 0时，
2 f (x) 6x 18 x 12 6( x 1)( x 2).
令f ( x) 0, 解得 x1 1, x2 2.
x1 1, x2 2将定义域(, )划分为三个区间, 列表讨论如下：
x
f ( x )
(, 1)
(1, 2)
( 2, )

x
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导.
（） 1 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数 y f ( x)在[a, b]上
单调增加；
（2） 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数 y f ( x)在[a, b]上
单调减少；
4
证
3 2 y x , y 3 x 0 , y(0) 0, 例如,
y
但它在(, )上单调增加.
o
x
3、若不特别指明区间,默认在定义域上 讨论函数的单调性.
6
例1 讨论函数 y ln x 的单调性. 解 定义域 D=(0, ). 注意定义域！ 1 y 0 , x (0, ). x
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a, b]上单调增加；
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
且当 x U ( x0 ) 时,恒有 f ( x) f ( x0 ) ,则称 f ( x0 ) 为 f ( x )
的一个极大值；如果当 x U ( x0 ) 时,恒有 f ( x) f ( x0 ) ，
则称 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的一个极小值.
y y
o
x0
x
o
x0
x
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
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说明： 1、极值不一定都存在； 2、极值若存在,必在定义区间的内部取到； 而最值既可能在区间内部取到,也可能在端点处取到. 若最值在区间内部取到,则必为极值. 3、极值是局部性的概念,可以有多个,且极大值不一定 比极小值大. 最值是全局概念. 至多有一个最大值，一个最小值.
3 y x 最小值不会大于最大值 . y
y


y

一阶导数 变号法
x
20
o
x0
x
o
x0
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间
的分界点. ——极值的另一种理解.
求极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求导数 f ( x), 并进行因式分解；
(3) 在定义域内, 求极值可疑点(即驻点或一阶导数 不存在的点)； (4) 应用极值的第一充分条件判断（列表讨论）. (5) 写出结论. 函数单调区间和极值经常是放在一起求的.
y
y f ( x)
O
x
无极值.
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
16
x
定理1(极值的必要条件) 设 x0 是 f ( x) 的极值点，
且 f ( x ) 在点 x0 可导， 则必有 f ( x0 ) 0 .
所以对可导函数来说,极值点必为驻点.
y y
y
y x3
o
x0
x
o
x0
x
O
x
但反之不然，驻点不一定是极值点.
D=(, ).
1 x1 5, x2 . 又 f (1)不存在. 令 f ( x) 0， 2 列表讨论：
22
4( x 5)(2 x 1) 1 f ( x) , x1 5, x2 , x3 1. 列表讨论： 3 2 3 x 1
x
f ( x )
其中(,0],(0, )分别称为f ( x)的单调增和单调减区间.
单调增、减区间统称为单调区间. 对大多数函数而言, 求函数的单调区间比讨论其在定
义域上的整体单调性更有意义.
9
函数单调区间的计算
称为驻点
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的 分界点. 求函数单调区间的步骤：
1、求函数的定义域；
y
o
(1,0)
x
y ln x 在定义域内单调增加 ,即为增函数.
例2 判断函数 y x cos x 在[0, 2 ]上的单调性. 解
y 1 sin x ,
3 y 0, 且仅在x= 处,y 0. 在[0, 2 ]上， 2
函数y x cos x在[0, 2 ]上单调增加.
2、计算f ( x), 并进行因式分解；
驻点或不可导点 3、在定义域内,求单调区间的分界点； 4、用分界点将定义域划分成若干区间，应用单调性判
别法列表进行讨论；
5、写出结论（分界点勿忘）.
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例5 求函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间. 解
D=( , ).
x
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这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点, 两者必居其一. 我们将驻点和不可导点统称为极值可疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别极值可疑点是否
分条件) 设函数 f ( x ) 在 x0 处连续,在 x0 的某去心邻域 U ( x0 ) 内可导.
(1) 若 x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , y
x