( 3 )f( x ) 6 1 x 2 x 3 ; ( 4 )f( x ) 3 x x 3 . 解: (2 )令 f(x)3 x2 2 7 0 ,解得 x13,x23.列表:
x (–∞, –3)
f (x) +
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
1 12
.
列表:
x
( , 1 )
1
12
12
( 1 , ) 12
f (x)
–
0
+
f (x) 单调递减
49
单调递增
24
所以, 当 x 1 时, f (x)有极小值 f ( 1 ) 49.
12
12 24
练习2
求下列函数的极值:
( 1 )f( x ) 6 x 2 x 2 ; ( 2 )f( x ) x 3 2 x ;7
函数的极值与导数
【复习与思考】
y
已知函数 f(x)=2x3-6x2+7
7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值 与这两点附近的函数值有什么关系?
2 o -1
解析（1）f'(x)=6x(x-2)
由 f'(x)>0得增区间： （ -， 0） ， （ 2， +） ；
x x2
(2)导函数 y f(x)有极小值?
x x1或 x x4
(3)函数 y f (x)有极大值?
x x3
(4)函数 y f (x)有极小值?
x x5
题型 1：图像与函数的极值
1.函 数 f(x)的 定 义 域 为 开 区 间 (a， b)， 导 函 数 f'(x)在 (a， b)内 的 函 数 图 像 如 图 ， 则 函 数
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4)令 f(x)33x20 ,解得 x11,x21.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
习题 A组 4
下图是导函数 y f(x)的图象, 在标记的点中, 在哪一点处 (1)导函数 y f(x)有极大值?
例1 求 函 数 f(x)1x34x4 的 极 值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2
f(x) +
0
-
0
(2,+∞) +
f(x)
极大值28/3
极小值- 4/3
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
练习2
求下列函数的极值:
( 1 )f( x ) 6 x 2 x 2 ; ( 2 )f( x ) x 3 2 x ;7 ( 3 )f( x ) 6 1 x 2 x 3 ; ( 4 )f( x ) 3 x x 3 . 解: (3 )令 f(x) 1 2 3x20 ,解得 x12,x22.
由 f'(x)<0得减区间： （ 0， 2）
（2）函数f (x)在x=0处的函数值比其附近的函 数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的函 数值都小
y
a ob
x
y=f(x)
函数f (x)在x=a处的函数值f(a)比其附近的函数值都小， f/(a)=0,而且在点附近的左侧f /(x)<0 ，右侧f /(x)>0,
x X<-1 -1 (-1,0) （0，1） 1 X>1
f '( x ) +
0
-
f (x)
极大值
-
0
+
极小值
所以，当x=-1时，函数的极大值是-2， 求解函数极值一
当x=1时，函数的极小值是2
般有哪些步骤？
【思考交流】 导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
对于可导函数而言,其 极值点一定是导数为0的点, 反之导数为0的点不一定是 函数的极值点.因此:导数值 为0的点是该点为极值点的 必要非充分条件.
f(x) 减
极小值
增
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1)
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,
并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一 点 附近的大小情况;
(2) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3) 函数的极大(小)值可能不止一个,而且函 数的极大值未必大于极小值; (4) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的 端点不能成为极值点.而函数的最值既可能在区 间的内部取得，也可能在区间的端点取得.
f(x)在 开 区 间 (a， b)内 存 在 极 小 值 点1 个 .
y
bx
a
O
若函数 yx3ax2bx2 在7x=-1和x=3时有极
那么f(x)在这个根处取得极大值；
极大值
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
极小值
例2 求函y数 1xx的极值 导 交函替数出的现正的负吗是？
解：f(x)=1 x,所以x 0 x
不是
f
'(x)
1 x2
1
x2x2 1，f
'(x)
0时，x
1
当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
y f (x)x3
Ox
练习2
求下列函数的极值:
( 1 )f( x ) 6 x 2 x 2 ;
( 2 )f( x ) x 3 2 x ;7
( 3 )f( x ) 6 1 x 2 x 3 ; ( 4 )f( x ) 3 x x 3 .
解: (1 )f(x)1x2 1 ,令
f(x)0,
解得
x
∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3.
求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确(3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -），
讨论
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系
的y 研究方法,看极值与导数之间有什么关系?
x a左侧
a a右侧
f(x) f '(x) 0 f(a)0f '(x) 0
f(x) 增
极大值 减
o x1
y
a
x2 x
左正右负极大值， 左负右正极小值
o x1 b
x2 x
x b左侧
b
b右侧
f(x) f '(x) 0 f(b)0f '(x) 0