• 以Bernstein基函数构造的Bezier曲线有不 足之处：一是控制多边形的顶点个数决定 了Bezier曲线的阶数，即n+1个顶点的控制 多边形必然会产生n次bezier曲线，而且当n 较大时，控制多边形对曲线的控制将会减 弱。二是Bezier曲线不能作局部修改，任何 一个控制点位置的变化对整条曲线都有影 响。B样条方法保留了Bezier方法的优点， 克服了其由于整体表示带来的不具备局部 性质的缺点，具有表示与设计自由型曲线 曲面的强大功能，被广泛应用于CAD系统 和许多图形软件包中。
B样条曲线的性质具体分析
• 1. 局部支柱性 B样条曲线与Bezier曲线的主要差别在于它 们的基函数。Bezier曲线的基函数在整个参 数变化区间内，只有一个点或者两个点处 函数值为零。而B样条的基函数是一个分段 函数，在参数变化范围内，每个基函数在tk 到tk+m的子区间内函数值不为0，在其余区 间为0，这一重要的特征称为局部支柱性。
• B样条的局部支柱性对曲线和曲面的设计有 两个方面的影响：一是第k段曲线段（p（t） 在两个相邻节点值[tk，tk+1）（m－1≤k≤n） 上的曲线段）仅仅由m个控制顶点Pk－m＋ 1，Pk－m＋2，…Pk控制。若要修改该段 曲线，仅修改这m个控制顶点即可。二是修 改控制顶点Pk对B样条曲线的影响是局部的。 对于均匀m次B样条曲线，调整一个顶点Pk 的位置只影响B样条曲线p（t）在区间[tk， tk+m）的部分，即最多只影响与该顶点有 关的m段曲线。局部支柱性是B样条最具魅 力的性质。
由于Bk,m(t)的各项分母可能为0，所以这里规定 0/0=0。m是曲线的阶参数，（m－1）是B样条曲 线的次数，曲线在连接点处具有（m－2）阶连续 性。tk是节点值，T＝（t0，t1，…tn＋m）构成了 m－1次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减 序列，所生成的B样条曲线定义在从节点值tm－1 到节点值tn+1的区间上，而每个基函数定义在t的 取值范围内的tk到tk＋m的子区间上。从公式可以 看出，仅仅给定控制点和参数m不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定节点矢量来获得基函数。
4. 导数
• B样条曲线的导数可以用其低阶的B样条基 函数和顶点矢量的差商序列的线性组合表 示，由此不难证明m阶B样条曲线段之间达 到m－2次的连续性。
5. 几何不变性 B样条曲线p（t）的形状和位置与坐 标系的选择无关。 6．差变减少性 如果B样条曲线p（t） 的控制多边形位于一个平面之内，则 该平面内的任意直线与p（t）的交点个 数不多于该直线与控制多边形的交点 个数。如果控制多边形不是平面图形， 则任意平面与p（t）的交点数不会超过 它与控制多边形的交点数。
2. B样条的凸组合性质
• B样条的凸组合性和B样条基函数 的数值均大于或等于0，保证了B 样条曲线的凸包性，即B样条曲线 必处在控制多边形所形成的凸包之 内。B样条方法的凸包性使曲线更 加逼近特征多边形，比Bezier方法 优越。
3．连续性
• 若一节点矢量中节点均不相同，则m阶（m －1次）B样条曲线在节点处为m－2阶连续， 比如三次B样条曲线段在各节点处可达到二 阶导数的连续性。由于B样条曲线基函数的 次数与控制顶点个数无关，这样，如果增 加一个控制点，就可以在保证B样条次数不 变的情况下相应地增加一段B样条曲线，且 新增的曲线段与原曲线的连接处天然地具 有m－2阶连续性。
B样条曲面
• B样条曲面是B样条曲线的二维扩 展，其表达式为：
• 其中，Pk1,k2称为控制顶点，所有的
（n1+1）×（n2+1）个控制顶点组成 的空间网格称为控制网格，也称特征 网格。Bk1,m1(u) 和Bk2,m2(v)是定义 在u，v参数轴上的节点矢量U=(u0， u1，…，un1+m1)和V=(v0，v1，…， vn2+m2)的B样条基函数。与B样条曲 线类似，当节点矢量U，V沿u，v轴均 匀等距分布时，称p(u，v)为均匀B样 条曲面。否则称为非均匀B样条曲面。

B样条曲线的数学定义为：
• 其中，Pk（k=0，1，…，n）为n+1个 控制顶点，又称为de Boor点。由控制 顶点顺序连成的折线称为B样条控制多 边形，简称控制多边形。m是一个阶参 数，可以取2到控制顶点个数n+1之间 的任一整数。实际上，m也可以取为1， 此时的“曲线”恰好是控制点本身。 参数t的选取取决于B样条节点矢量的 选取。 • Bk,m(t)是B样条基函数，由Cox-de Boor递归公式定义为：
从公式可以看出，仅仅给定控制点 和参数m不足以完全表达B样条曲线，还 需要给定节点矢量来获得基函数。 • B样条通常可以按照节点矢量分为三种 类型： 1）均匀的B样条曲线 2）开放均匀的B样条曲线 3）非均匀的B样条曲线。
B样条曲线的性质
• • • • • • 1. 局部支柱性 2. B样条的凸组合性质 3．连续性 4. 导数 5. 几何不变性 6．差变减少性
• B样条曲面具有与B样条曲线相同的局 部支柱性、凸包性、连续性和几何不 变性等性质。与Bezier曲面相比，B样 条曲面极为自然地解决了曲面片之间 的连接问题。