-------总结 Bezier 曲线与曲面； 定义表达式？ 伯恩斯坦基函数定义、性质、对曲线的影响？ 递推算法？
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第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
-------总结 B样条曲线与曲面； 如何理解B样条曲线定义？ 与贝齐尔相比的区别？ 端点性质？
36
作业
1.说明两条曲线达到C、G连续的条件。 2.分析三次伯恩斯坦基函数对贝齐尔曲线的影响。 3.分析曲线升阶后的意义。 4.如何把一段贝齐尔曲线分成等长的两段？
点P0P2的直线段
P1
双曲线
抛物线
椭圆
P0
P2
图3.1.36 圆锥曲线的 NURBS表示 23
NURBS曲线---修改
常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。 修改权因子
当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因 子时，曲线被推离或拉向相应顶点。
S* Pi
S
N B
修改权因子
24
NURBS曲线---非均匀有理B样条曲面
⎡ 2 − 2 1 1 ⎤⎡ Pk ⎤
= ⎢⎢− 3
⎢0
⎢ ⎣
1
3 0 0
−2 1 0
−1⎥⎥
0⎥
0
⎥ ⎦
⎢ ⎢
Pk
+1
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Rk Rk +1
⎥ ⎥ ⎦
=
M
h
⋅
Gh
28
三次Hermite曲线---弗格森
三次Hermite样条曲线的方程为：
p(t) = T ⋅ M h ⋅ Gh
t ∈[0,1]
p(0) = Pk , p(1) = Pk+1 p′(0) = Rk , p′(1) = Rk+1
26
三次Hermite曲线---弗格森
推导：
⎡ax ay az ⎤
p(t) = [t3
t2
t
1]⎢⎢⎢⎢⎢⎣dbcxxx
by cy dy
bz
⎥ ⎥
cz dz
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡a⎤
= [t3
t2
t
1]⎢⎢b
n
∑ 权性：
Ri,k (u) = 1
i=0
可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微
的，在节点处 (k-1-r)次连续可导，r是该节点的重复度。
若ωi=0，则Ri,k(t)=0； 若ωi=+∞，则Ri,k(t)=1；
19
NURBS曲线---性质
NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性质：
v
d23
d13
C2
C1 d22
d32
d12
d33 C3
d42
d34
d44 d43
C4
d21
d31
d11
u
d41
参数v在[0,1] 之间取值vk ，对应于vk曲线C1、C2、C3和C4上可得到 v1k、v2k、v3k和v4k四个点，该四点构成u向的一个特征多边形，定 义一条新的曲线P(u,vk)；
d14
,j
≤ v j+1
)分
uv 别是对参数 平面的 u 轴和v 轴的分割，如图所示。称下列张量
积形式的参数曲面为 k × h ( k≤n,h≤m)阶的B样条曲面
nm
∑ ∑ P(u,v) =
Pij Bi,k (u)Bj,h (v)
i=0 j=0
P(u, v)
uk-1≤u≤un＋1,vh-1≤v≤vm＋1
其 中 Pij 是 空 间 中 给 定 的 (n+1)×(m+1) 个 网 格 点 ， 通 常 称 为
有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊 情况
21
NURBS曲线---性质
取节点向量为 T = [0,0,0,1,1,1] 则NURBS曲线退化为二次
Bezier曲线，且可以证明，这是圆锥曲线弧方程。
P(t)
=
(1− t 2 )ω0P0 + 2t(1− t)ω1P1 + t 2ω2P2 (1− t)2ω0 + 2t(1− t)ω1 + t 2ω2
n
∑ωi Pi Ni,k (t) n
P(t) =
i=0 n
∑ = Pi Ri,k (t)
∑ωi Ni,k (t) i=0
i=0
Ri,k (t) =
ωi Ni,k (t)
n
∑ω j N j,k (t)
j=0
18
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t∉[ti, ti+k]
车 身 CAD
山东交通学院 汽车工程系
1
复习：分段三次B－样条曲线
2
Ｂ样条曲线的表达式
若给定m+n+1个顶点Pi (i=0，1，2，…，m+n)，将多边折 线分成m+1段，每段多边折线称为B特征多边形，构成的第i 段Ｂ－样条曲线为n次多项式 (i=0，1，2，…，m) ：
n
∑ Pi,n (t) = Pi+k Fk,n (t) k =0
1t
31
三次Hermite曲线---弗格森
特点分析：
1.可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。 2 . 基 于 Hermite 样 条 的 变 化 形 式 ： Cardinal 样 条 和
Kochanek-Bartels样条 3.Hermite曲线具有几何不变性
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第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
b样条曲面
P23
P03
P33
P02
P12 P22
P32
P11
P21
P01
P31
P10
P20
P00 P30
双三次B样条曲面片
B样条曲面
P23
P03
P33
P02 P01
P12 P22
P32
P11
P21
P31
P00 图3.1.33
P10
P20
P30 双三次B样条曲面片
13
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
z 局部性质。 z 局变差减小性质。 z 凸包性。 z 在仿射与透射变换下的不变性。 z 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。
20
NURBS曲线---性质
如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。
若 ωi → ∞ ，则当 t ∈[ti , ti+k ] P(t) = Pi 时，非有理与
其中，F k , n (t)为n次B样条基函数（德布尔-考克斯递推公式）
3
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
主要讲授内容
CAGD发展； 几何造型技术； 参数曲线和曲面； Bezier 曲线与曲面； B样条曲线与曲面； NURBS曲线与曲面；
4
B样条曲面
给定参数轴u和v的节点矢量
v
C1
C2
C3
V1k
V2k
V3k
u
C4
V4k
与Bézier曲面一样，{Pij}是对曲面 P(u, v) 的大致
形状的勾画，P(u, v) 是对 {Pij } 的逼近。B样条曲
面也具有局部调整性、凸包性、几何不变性等，它的 控制网格也是人机交互的手段，也可以通过某些算法 对其进行计算，这些都与B样条曲线的情况类似。
-------总结 几何造型技术：
线框模型、曲面模型和实体模型三种造 型技术的区别？
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第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
-------总结
参数曲线和曲面； 参数曲线的表示形式？优势？ 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率？ 曲线间连接的光滑度的度量有两种----C连续与G连续？
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第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
U = [u0 , u1,L, um+ p ]
V = [v0 , v1,L, vn+q ]
p×q阶B样条曲面定义如下
mn
∑ ∑ P(u,v) =
Pij Ni, p (u)N j,q (v)
i=0 j=0
5
{ } u u v 设节点向量
U=
ui
i+=∞−∞,V
=
{v
j
}+∞ j = −∞
(
i ≤ i+1
v
d23
d13
C2
C1 d22
d32
d12
d21 d11
d31 u
d24 d33 C3 d42
d34
d44 d43
C4
d41
9当参数vk在[0,1] 之间取不同值时，P(u,vk)沿箭头方向扫描，即 得到由给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)定义的双三次均匀B样 条曲面片P(u,v)。
NURBS曲面的定义
mn
∑ ∑ωij Pij Ni, p (u)N j,q (v) m n
P(u, v) =
i=0 j=0 mn
∑ ∑ =
Pij Ri, p; j,q (u, v)
∑ ∑ωij Ni, p (u)N j,q (v) i=0 j=0
i=0 j=0
u, v ∈[0,1]
Ri, p; j,q (u, v) =
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NURBS曲线曲面
应用NURBS中还有一些难以解决的问题：
z 比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间 z 权因子选择不当会引起畸变 z 对搭接、重叠形状的处理很麻烦。 z 反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题
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NURBS曲线---定义
NURBS曲线的定义