四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。

1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。

Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。

如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。

在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。

其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。

2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。

若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，)(u P i 蜕化成1-i P i P 1+i P 直线边上的一段直线。

端点一阶导数矢量：1)0(--=i i i P P P ，i i i P P P -=+1)1(，i i i P P P -='+1)0(，12)1(++-='i i i P P P ，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。

二阶导数矢量：)()1(2)0(11t P P P i i i i i i ''=''=+-=''+-P P P ，即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。

3三次均匀B 样条曲线空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，。

，n ）构造n －2段三次（k ＝0,1,2,3，四阶n=3）均匀B 样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段P i （u ）（i=1，。

，n －2），其定义表达为：[]10 ;2,...,1 0141030303631331 161)(21123≤≤-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=++-u n i u u u u P i i i i i P P P P＝ !31（1－u ）3 P i －1＋!31（4－6u 2＋3u 3）P i ＋!31（1＋3u ＋3u 2－3u 3）P i ＋1＋!31u 3P i ＋2＝ N 0，3（u ）P i －1 ＋ N 1，3（u ）P i ＋ N 2，3（u ）P i ＋1＋ N 3，3（u ）P i ＋2端点位置矢量：)4(61)0(11+-++=i i i i P P P P ，)4(61)1(21++++=i i i i P P P P ，即起点位于三角形∆P i-1P i P i+1中线P i M 1的1/3处，终点位于三角形∆P i P i ＋1P i+2中线P i ＋1M 2的1/3处。

可见B 样条曲线的端点并不通过控制点。

端点一阶导数矢量：2/)()0(11-+-='i i i P P P ，)0(2/)()1(12++'=-='i i i i P P P P ，即曲线起点的切矢平行于∆P i-1P i P i+1的底边P i-1P i+1，其模长为底边P i-1P i+1长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于∆P i P i+1P i+2的底边P i P i+2，其模长也为底边P i P i+2长的1/2。

且相邻两曲线段具有一阶导数连续（因)0()1(1'='+i i P P ）。

二阶导数矢量：112)0(+-+-=''i i i i P P P P ，)0(2)1(121+++''=+-=''i i i i i P P P P P ，即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节点处具有二阶导数连续（因)0()1(i i P P ''=''）。

若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，三次均匀B 样条曲线将产生拐点；若1-i P 、i P 、1+i P 、2+i P 四点共线，则)(u P i 变成一段直线；若1-i P 、i P 、1+i P 三点重合，则)(u P i 过iP 点。

思考：用作图法绘制下图均匀三次B 样条曲线。

B 样条曲线段与段之间具有天然的连续性，具有整体的光滑特性，而Bezier 曲线段与段之间必须光滑拼接。

因此在商用系统中B 样条方法应用更为广泛。

2．B 样条曲线的性质1局部性空间n+1个控制顶点i P （i=0，1，…，n ）构造（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段，且每一曲线段i P （u ）（i = 1，…，n －k ＋1）由1-i P 、i P 、…、1-+k i P 等k ＋1个控制顶点确定，与其它控制点无关。

2整体性和连续性一般情况下（即无重节点、重顶点），n+1个控制顶点所构造的（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段组成一完整的B 样条曲线，曲线段与段之间具有C k －1阶函数连续性（或G k －1阶几何连续性），当有K 重顶点时，将可能产生尖点（前面已介绍），虽然仍满足函数连续，但不满足几何连续。

4几何不变性改变坐标系不改变曲线形状。

5变差缩减性与Bezier 曲线性质相同。

（5）造型的灵活性由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的；由于其整体性和连续性，曲线具有整体的光滑性。

正因如此，B 样条曲线比Bezier 应用更为广泛，为商用系统普遍采用。

缺点：首末两端点不通过控制顶点，与其优点比较微不足道。

3．均匀双二次B 样条曲面已知曲面的控制点)2,1,0,(=j i ij P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，2==l k ，构造步骤是：a 、沿w 向构造均匀二次B 样条曲线，即有：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=02010002010020 011022-121 1P P P WM P P P P w w w )(经转置后：[]TTB w W M P P P P 0201000=)(同上可得：[]TT B w W M P P P P 1211101=)(，[]TTB w W M P P P P 2221202=)(。

b 、再沿u 向构造均匀二次B 样条曲线，即可得到均匀二次B 样条曲面：TT B B B w w w w u W M P P P P P P P P P UM P P P UM S ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222120121110020100210)()()(),(简记为：TT B B w u W PM UM S =),(。

4．均匀双三次B 样条曲面已知曲面的控制点)3,2,1,0,(=j i j i P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，3==l k ，构造双三次B 样条曲面的步骤同上述。

a 、沿w 向构造均匀三次B 样条曲线，有：[]T TB w W M P P P P P 030201000=)(，[]TTB w W M P P P P P 131211101=)(， []TT B w W M P P P P P 232221202=)(，[]TT B w W M P P P P P 333231303=)(b 、再沿u 向构造均匀三次B 样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当值由0到1连续变化，即形成均匀双三次B 样条曲面。

此时表达式为：T T BB B w w w w w u W PM UM P P P P UM S =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(),(3210，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33323130232221201312111003020100P P P P P P P P P P P P P P P P P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=014103030363133161B M上式也可表达为：S （u,w ）= [N 0,3(u) N 1,3(u) N 0,3(u) N 0,3(u) ] [ P i j ]4x4 [N 0,3(w) N 1,3(w) N 2,3(w) N 3,3(w) ]T对于由控制点),...,1,0,,...,1,0(n j m i ==j i P 组成的均匀双三次B 样条曲面其定义如下：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++++++++++++++)()()()()()()()(),(3,33,23,13,03,32,31,3,33,22,21,2,23,12,11,1,13,2,1,,3,33,23,13,0,w N w N w N w N P P P P P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N w u S j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i即任意单张均匀双三次B 样条曲面片S i,j (u ，w)是由P k,l (k = i, ... , i+3, l = j, … , j+3)等16个控制点定义而成。