阅读理解（二）（24题）典型例题： 例1、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一．对于任意一个用n ()10n ≤进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~()1n −进行记数，特点是逢n 进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，记作5(234)69=， 七进制数()271361737676=⨯+⨯+=，记作7(136)76=． （1）请将以下两个数转化为十进制：5(331)= ，7(46)= ；（2）若一个正数可以用七进制表示为()7abc ，也可以用五进制表示为()5cba ，请求出这个数并用十进制表示．例2、如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如： 223-516=，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索： 小明的方法是一个一个找出来的：220-00=，220-11=，221-23=，220-24=，222-35=，223-47=，221-38=，224-59=，225-611=，。
小王认为小明的方法太麻烦，他想到:设k 是自然数，由于12)1)(1)122+=−+++=−+k k k k k k k （（。
所以，自然数中所有奇数都是智慧数。
问题：(1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______(2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(3≥k 且k 为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k （3≥k 且k 为正整数)都是智慧数。
(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k 为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由。
例3、如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…，都是“妙数”．（1） 若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为；（2） 证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除；（3） 在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一个新的四位自然数A ，且m 大于自然数A 百位上的数字．是否存在一个一位自然数n ，使得自然数(9)A n +各数位上的数字全都相同？若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由．例4、连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a ，b ，c （a ＜b ＜c ）若a 2+b 2=c 2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a 2+b 2<c 2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a 2+b 2>c 2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”。
（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：32+42+5225=2； 若有5个连续整数：102+112+122+132+142365=2； 若有7个连续整数：212+222+232+242+252+262+2722030=2； …由此获得启发，若存在n （7<n<11）个连续正整数也满足上述规律，求这n 个数．例5、观察下列等式：12×231=132×21， 14×451=154×41， 32×253=352×23，34×473=374×43，45×594=495×54，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①35× = ×53； ② ×682=286× ．（2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m ，个位数字为n ，且2≤m+n ≤9．用含m ，n 的代数式表示数字对称式左边的两位数与三位数的乘积P ，并求出P 能被110整除时mn 的值．例6、阅读材料：材料一：对于任意的非零实数x 和正实数k ，如果满足3kx 为整数，则称k 是x 的一个“整商系数”。
例如：x=2时，k=323⨯=1，则3是2 的一个整商系数； x=2时，k=12，23⨯=8，则12 也是2 的一个整商系数；x=12−时，k=6，16()23⨯−=-1，则6 是12−的一个整商系数； 结论：一个非零实数x 有无数个整商系数k ，其中最小的一个整商系数记为k(x)，例如:k(2)=32材料二：对于一元二次方程2ax bx c 0=++ (a ≠0)中，两根1x ,2x 有如下的关系：12x x b a+=−,12x x c a •= 应用：⑴ k(32)= ；k(52−)= ； ⑵若实数a(a ＜0)满足k(2a )＞k(11a +)，求a 的取值范围。
⑶若关于x 的方程：2x+bx 40=+的两个根分别为1x ,2x ，且满足k(1x )+k(2x )=9，则b 的值为多少？例7、小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2)21(223+=+．善于思考的小明进行了以下探索： 设2)2(2n m b a +=+（其中n m b a 、、、均为整数），则有222222mn n m b a ++=+．∴mn b n m a 2,222=+=．这样小明就找到了一种把类似2b a +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当n m b a 、、、均为正整数时，若2)3(3n m b a +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ， 得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： +=（ + ）2；（3）若2)3(38n m a +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？练习：1、能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如213=abc 时，则：)24363(243)36312(3621333333=+→=++→ FF ．数字111经过三次“F ”运算得 ，经过四次“F ”运算得 ，经过五次“F ”运算得 ，经过2016次“F ”运算得 ．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字为c ，个为上的数字为d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．2、阅读下列材料，解决后面两个问题 我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）.显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。
（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和（2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。
3、如果一个四位数的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“循环四位数”.如1212，5252，6767，…等都是“循环四位数”.如果将一个“循环四位数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原循环四位数的对应数”，如果原循环四位数的百位数字是0，则忽略交换位置后首位的“0”，即它的对应数就是首位“0”忽略后的三位数.如1212的对应数为2121，5252 的对应数为2525，1010的对应数为101.（1）任意写一个“循环四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“循环四位数”与它的“对应数”的差是否都能被101整除？并说明理由；（2）一个“循环四位数”的千位数字为x(1≤x ≤9)，百位数字为y （0≤y ≤9，且y ＜x ），若这个循环四位数与它的对应数的差能被404整除，求y 与x 应满足的数量关系.4、若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？5、阅读下列材料解决问题：材料：古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数.把数1，3，6，10，15，21……换一种方式排列，即1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15……从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，……叫做三角形数“名副其实”．（1）设第一个三角形数为11a=，第二个三角形数为23a=，第三个三角形数为36a=，请直接写出第n个三角形数为n a的表达式（其中n为正整数）．（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T 与2的大小关系并说明理由．6、当一个多位数的位数为偶数时，在其中间位插入一个一位数k ，（09k ≤≤，且k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数，如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中4357297294351000=+⨯，43567297296100043510000=+⨯+⨯.请阅读以上材料，解决下列问题,（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样条件的三位关联数. （2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m ，得其关联数（09m ≤≤，且m 为3的倍数），试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除.7、把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：1011031132332222222=+→=+→=+→，1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．。